Somme de 21 premiers termes

[jojoxxp4]

Bonsoir,

U est la suite geometrique de premier terme U₀ = 8 et de raison q = 1/2

Soit S la somme des 21 premiers termes de la suite u:
S = U₀ + U₁ + ............... + U₂₀

1) Montrer que S= U₀ x ( 1 + q + q² + ....................... + q²⁰ )

2) En deduire la valeur exacte de S

Bon j'ai fait:
1)
U_n = U₀ x qⁿ
U₁ = U₀ x q¹
U₂ = U₀ x q²
U₂₀ = U₀ x q²⁰

Donc en factorisant par U₀: S= U₀ x ( 1 + q + q² + ....................... + q²⁰ )
Mais pour le 2 je ne sais pas comment en deduire...


Mercii de m'aider
-----

[Bruno]

Divise S par , que trouves-tu comme simplification ?

[jojoxxp4]

Ca me parait pas evident :/

[Bruno]

Excuse-moi, je voulais écrire multiplie. Bon, tu as déjà en partie la réponse à laquelle je voulais t'amener

[A voir en vidéo sur Futura]

[jojoxxp4]

S (1-q) = U0 x ( 1 + q + q2 + ....................... + q20 ) (1-q)
S (1-q) = U0 x ( 1 + q + q2 + ....................... + q20 ) ( -q -q2 - ....................... -q20 )

Comment enchainer?

[Bruno]

Il y a une erreur à ta deuxième ligne, si tu distribues le (1-q) il ne doit te rester qu'une seule parenthèse (à la limite pose U0 = 1 pour la simplicité) !

[jojoxxp4]

S (1-q) = U0 x ( 1 + q + q² + ....................... + q²⁰ ) (1-q)
S (1-q) = U0 x ( 1-q +q -q² + q² -q³ + q³.................q²⁰-q²¹ )
S(1-q) = U0 x (1-q²¹)
0.5 S = 8 x 0.99999999 = 7.9999999999
S = 3.999999999999


Correct ?

[Bruno]

Presque, quand tu fais passer ton 0,5 dans le membre de droite tu dois multiplier par 2 (puisque tu divises par 1/2). S'il y a quelque chose à retenir c'est la n-ème somme partielle d'une série géométrique :



avec le premier terme.

[jojoxxp4]

Ah la fameuse formule !

donc S₂₁ a peu pres egal a 16 ...



Merciii bcp

[Bruno]

Oui mais on te demande la valeur exacte (qui n'est pas égale à 16), donc il faut écrire 15,99999.... ou plus rigoureusement ou, si on est un peu tordu: