Démonstration de la formule de la rotation

[stmalo]

Bonsoir à tous,
En regardant mon cours de mathématiques ce soir( non non je n'ai pas ds demain^^) j' ai remarqué que pour la formule de la rotation ( en rapport avec les complexes )dans le chapitre concernant les différentes transformations du plan, j' ai effectivement la formule : z' = Exp^^i*alpha * (z- oméga) + oméga avec alpha un angle et oméga l' affixe du centre de la rotation ( enfin c' est ce que j' ai cru comprendre...) mais je n' ai pas la démonstration... Est -ce quelqu'un la connaîtrait- elle ? Je vous remercie d' avance.
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[Gwyddon]

Bonsoir stmalo (tu viens de la ville éponyme ? ),

Pour faire la démonstration, il te faut procéder en deux étapes :

1. Faire un changement de repère, pour te ramener du repère au repère où C est le centre de la rotation, d'affixe dans le repère initial.
2. Puis ensuite tu appliques la rotation dans ce nouveau repère.

Pour la première étape, je te donne un indice : relation de Chasles

Pour la seconde étape, il te suffit de te rappeler qu'une rotation n'affecte pas la norme des vecteurs, par contre elle va en changer l'orientation de l'angle ; comment cela se traduit-il en termes de nombres complexes, notamment sur le module et l'argument du point qui subit la rotation ?

Avec tout ça, tu devrais y arriver !

Cordialement,

G.

[pallas]

tu traduis la définition d'une rotation à l'aide des complexes

[stmalo]

Bonsoir , Je tiens à vous remercier Gwyddon tout d' abord, en effet c' est beaucoup plus clair. Je met d' ailleurs la démonstration que j' ai trouvé (grâce à vos conseils) si il y a (le bac blanc approche soyons donc pragmatique^^)dans le futur proche d' autres personnes qui auraient besoin de cette démo.
On considère R(oméga, alpha) une rotation de centre oméga et d' angle alpha qui associe la transformation M(z) (flèche oui l' informatique et moi...) M(Z')
On a la distance oméga M = oméga M' et l' angle (oméga M, oméga M')= alpha (ceux sont les deux conditions de la rotation)
On peut ainsi écrire : module de z-oméga = module de z'-oméga d' où le quotient : module de z-oméga/ module de z'-oméga =1
l' angle (oméga M, oméga M') = arg (z'-oméga / z-oméga) =alpha d ' où z'-oméga/ z-oméga = e^i*alpha d' où z'-oméga = e^i*alpha(z-oméga) et enfin (ouf on y arrive^^) z' = e^i*alpha*(z-oméga) + oméga.
Bon bah encore merci!
ps :Bien qu' allant souvent à St Malo je ne suis pas native de cette ville qui pour moi est la plus belle du monde ( mais mon rêve est d' y habiter le plus rapidement possible^^) Bonne soirée!

[A voir en vidéo sur Futura]