Continuité.

[invite72340e64]

Bonjour,

Je suis en train de faire un exercice sur la continuité et je me pose une question.

"Une fonction est continue si lim x->x0 f(x) = f(x0)"

f(x) = sinx/x si x différent de 0 et f(0) = 1 Montrer que f est continue en 1.

sinx/x est le taux d'accroissement de la fonction sinus entre 0 et x, donc sinx/x = cos x, non ?

Donc, on devrait faire lim x->x0 cos x = -sin x = 0

Et là, ça ne concorde pas, la fonction serait discontinue, or sur le corrigé, ils disent que la dérivée de sinx/x est cos x, ce qui est faux je crois.

Bref, pourriez vous m'aider svp ?

Merci !
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[Jon83]

f(x) = sinx/x si x différent de 0 et f(0) = 1 Montrer que f est continue en 1.[/I]

sinx/x est le taux d'accroissement de la fonction sinus entre 0 et x, donc sinx/x = cos x, non ?

Merci !

Bonjour!

Non, c'est inexact!



quand x tend vers 0 CQFD!

[invite72340e64]

Pourquoi limite ((sin(x)-sin(0))/(x-0)) = (sin'(0)) ? (J'ai du louper un truc )

Autres questions :

-Pourquoi est-ce que l'énoncé nous dit que f(0)=1 puisque la fonction n'est pas définie en 0 ? C'est impossible.
-Et donc comment pourrait-elle continue en un point où elle n'est pas définie ?

Une dernière question qui n'est pas totalement relié au sujet, mais puisque j'y suis :

-Pourquoi est-ce que f(x0+h) = f(xo)+hf'(x0)+hε(h) ? A quoi sert ce hε(h) ?

[pallas]

une fonction f est continue en un point a si
1) a appartient au domaine de f
2) limf lorsque x tend vers a est f(a)
pour f definie par f(x) =( sinx)/x si x different de zero et f(0) = 1
on a bien 0 appartient au domaine
et lim ( f(x)) en zero est 1 donc f continue en zero
en effet limite ( sinx/x) en zero = limite ( sinx-x)/(x-0) = sin'(0) = cos0 = 1
vu que limite de( h(x) - h(a))/(x-a)) = h'(a) si existe ( ici h = sin et a= 0= definition de la derivée en un point )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Pourquoi limite ((sin(x)-sin(0))/(x-0)) = (sin'(0)) ? (J'ai du louper un truc )

C'est la définition du nombre dérivée de sin(x) en x=0

-Pourquoi est-ce que l'énoncé nous dit que f(0)=1 puisque la fonction n'est pas définie en 0 ? C'est impossible.

Si, la fonction est définie en 0: c'est ce que l'on vient de montrer!

[PlaneteF]

Si, la fonction est définie en 0: c'est ce que l'on vient de montrer!

Juste une remarque :

Pour être plus exact, la fonction est définie en 0 parce que c'est l'énoncé qui le définit, en donnant une définition de la fonction pour x<>0, et une autre définition pour x=0.

Et partir de là, ce que l'on montre c'est la continuité de la fonction en 0.

[invite72340e64]

Donc f est définie en 0 parce que l'énoncé nous le dit et c'est tout ? D'ailleurs je trouve ça bizzard, ils disent que f(x) = sinx/x SI x différent de 0, et après ils disent que f(0) = 1 ça voudrait presque dire que ça n'est pas d'une même fonction qu'il s'agit, à ce compte, on ne peut pas calculer la dérivée ni quoi que ce soit.

((sin(x)-sin(0))/(x-0)) = (sin'(0)) car on simplifie les x de la première parenthèse c'est ça ? (j'avais plus l'habitude de chercher les limites en + ou - l'infini, ou alors en un réel qui fait tendre la fonction vers + ou - l'infini)

[Jon83]

Donc f est définie en 0 parce que l'énoncé nous le dit et c'est tout ? D'ailleurs je trouve ça bizzard, ils disent que f(x) = sinx/x SI x différent de 0, et après ils disent que f(0) = 1 ça voudrait presque dire que ça n'est pas d'une même fonction qu'il s'agit, à ce compte, on ne peut pas calculer la dérivée ni quoi que ce soit.

Bonjour!
Tu confonds la notion de "définition d'une fonction en un point" et "continuité d'une fonction".... Révise ton cours!

[danyvio]

Jon83 a raison: une fonction n'est fporcément quelque chose comme y=f(x). Dans l'énoncé, tout est dit en fonction de la valeur de x.
Autre exemple : la fonction : valeur absolue, qu'on peut définir comme : f(x)=x quand x > ou = 0 et f(x)=-x quand x < 0. Cette fonction est bien définie sur R.

[PlaneteF]

Donc f est définie en 0 parce que l'énoncé nous le dit et c'est tout ? D'ailleurs je trouve ça bizzard, ils disent que f(x) = sinx/x SI x différent de 0, et après ils disent que f(0) = 1 ça voudrait presque dire que ça n'est pas d'une même fonction qu'il s'agit, à ce compte, on ne peut pas calculer la dérivée ni quoi que ce soit.

Salut Avenged,

Soit f la fonction suivante :

• Si x<12,678912 alors f(x)=sin(734x) + (234552x+4377775)²
• f(12,678912) = 456,897654
• Si x>12,678912 alors f(x)=(12221876/x) + ln(12765x)

En fait, je suis "Monsieur l'ENONCE", donc je fais ce que je veux !... et la fonction est bien définie en tous points, c'est moi qui vient de le faire selon l'humeur du moment

Maintenant, est-ce que cette fonction a un intérêt ? ... C'est pas gagné !

Est-ce qu'elle est continue pour x=12,678912 ? ... dérivable ? ... Je n'ai pas vérifié, mais si c'est la cas, j'aurais dû jouer au loto aujourd'hui