démonstration que sin'x = cos x

[acx01b]

Bonjour,

je crois que savoir démontrer que n'est pas au programme de terminale S.

La démonstration la plus courante se trouve ici : dérivée fonction sinus, en premier lien.

Est-ce que l'un de vous l'a enseigné ou l'a eu en exercice en terminale ? Pourquoi ce n'est pas au programme de terminale S ? Est-ce uniquement parce que les développements limités à l'ordre 1 ne sont pas au programme ?

En fait, après un master de math informatique je ne savais pas faire cette démonstration ! J'ai cherché un peu et je me suis rendu compte que malgré que cette démonstration n'est pas très difficile, et assez élégante, aucun prof ne me l'avait faite faire !

Merci !
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[RuBisCO]

Heu, le problème, c'est que ton lien comporte une démonstration sans développement limité.

Sinon, je te propose celle-ci :

On a :

On remarque alors que :

On prouve aisément par le cercle trigonométrique que :
]

[acx01b]

salut,

C'est la même ta démonstration ! Sinon effectivement j'ai dit une bêtise le développement limité à l'ordre 1 n'a pas besoin d'être abordé, on a seulement besoin de prendre la dérivée de et en comme tu le fais. Bon donc on est d'accord que tout est au programme de terminale S, puisque pour c'est une belle application de Thalès.

[RuBisCO]

Bonsoir,
J'avais peur qu'on ne parle pas de la même chose ! Mais je te confirme : tout est au programme de terminale S.
Il me semble que je l'ai eu en devoir surveillé, tout du moins une partie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pallas]

tu peux egalement appliquer dans sin(x+h)-sinx la formule de sinp-sinq ( un peu plus rapide a mon avis)

[Gwyddon]

Bonjour,

On prouve aisément par le cercle trigonométrique que :
]

Qu'entendez-vous par "prouver par le cercle trigonométrique" ? J'aimerais bien voir ladite démonstration...

Je rappelle que l'on doit ne pas se mordre la queue, c'est-à-dire que si l'on doit utiliser le résultat , il faut que la démonstration ce dernier n'utilise pas la dérivée

Cordialement,

G.

[RuBisCO]

Bien entendu, sinon ce ne serait une démonstration valide.
Une petite figure pour illustrer rapidement notre raisonnement :

 Cliquez pour afficher

Je vous laisse le soin de démontrer que nous avons (avec l'inégalité triangulaire, on y arrive). On a donc

Pour :

On passe à la limite :

D'où le résultat :

Et tout ça sans la dérivée !

[Gwyddon]

Bonjour,

Je suis très sceptique sur cette démonstration, pour plusieurs raisons :

_ MA (en tant que longueur de segment) n'est pas égale à l'angle , et je ne vois pas de quelle inégalité triangulaire vous parlez.

_ les suites d'équivalences sont fausses, notamment car il y a des conditions à respecter sur qui manquent dans les suites d'équivalences, il ne suffit pas que l'on ait non congru à 0 modulo . Un exemple : pour on a .

Cordialement,

G.

[RuBisCO]

En effet, je suis allé un peu rapidement dans ma rédaction : on ne s’intéresse qu'à l'intervalle pour la limite en et en pour la limite en (en utilisant les longueurs algébriques correctement définie).

[acx01b]

Bonjour,

Donc cette démonstration complète de n'est pas à connaitre coeur pour le bac S on est d'accord ?

Sinon, je suis tout à fait d'accord avec RuBisCO que pour montrer que on montre la plupart du temps pour . Mais par contre, pour monter que a priori on utilise les aires du secteur de disque d'angle qui a pour aire et le triangle (donc le triangle OAB sur le dessin de RuBisCO) d'aire

Sinon, moi je trouve que cette démonstration de est élégante, mais je trouve le fait d'utiliser la grandeur pour y arriver tout à fait contre intuitif.

Que pensez-vous de celle-ci :

pour

• la pente de la tangeante au cercle (la pente de la droite tangeante, et non pas la fonction tangeante !) au point correspondant à l'angle tend vers lorsque tend vers .
  
  la pente de la corde du cercle correspondant à l'angle vaut la pente de la tangeante en , et elle vaut également
  . On a :
  et donc :
  
• la longueur de l'arc de cercle est inférieure à la somme des petits côtés du petite triangle rectangle que l'on dessine intuitivement à partir de la corde correspondant à un petit angle . Les côtés de ce triangle ont pour longueurs . C'est à dire :
  
• en dessinant le même petit triangle on a également vu que
• on a donc : c'est à dire
  avec on trouve enfin et

Elle est pas plus "simple" ma démo ?

[acx01b]

Pour appuyer le fait que je pense que j'utilise le théorème :

si à l'intérieur d'un triangle ABC se trouve une courbe y reliant A à B et tournant toujours dans le même sens (tout le temps vers la gauche ou tout le temps vers la droite) alors en longueur

[RuBisCO]

Je dois avouer que ma méthode pour montrer la seconde partie de l'inégalité est un peu plus tararubiscoté si j'ose dire !
J'introduit un point C qui est l'intersection de la perpendiculaire à (OB) passant par M et la droite (AB). On arrive a s'en sortir avec les calculs, mais la méthode des aires me semble plus belle.

[acx01b]

Personne n'a lu ma démo de ??? Elle est claire, compréhensible, elle vous plait ?

[Gwyddon]

La démonstration de acx01b est truffée de non-dits et de fautes.

D'abord la pente de la corde AM du cercle ne vaut pas ce qui est indiqué, mais l'opposé.

Ensuite elle est où la preuve que la tangente au cercle parallèle à cette corde correspond à un angle de x/2 ?

Enfin les notations mériteraient d'être éclaircies, sans compter que je suis loin d'être sûr de la rigueur des passages à la limite (il faudrait définir correctement les fonctions "pentes" dont on parle).

Sinon la méthode des aires est excellente pour montrer que pour , pour (c'est-à-dire pour )

Mais la démonstration de me paraît toujours aussi obscure, désolé

[acx01b]

La démonstration de acx01b est truffée de non-dits et de fautes.

Donc ma démo n'est pas si claire que ça

D'abord la pente de la corde AM du cercle ne vaut pas ce qui est indiqué, mais l'opposé.

J'ai vérifié, tu as du mal lire. La corde, comme la droite tangente, devient verticale lorsque , on a donc la pente qui tend vers , et son inverse qui tend vers , d'où

Ensuite elle est où la preuve que la tangente au cercle parallèle à cette corde correspond à un angle de x/2 ?

Ben c'est de la géométrie : la corde est perpendiculaire au rayon qui passe par son milieu, ce rayon qui est également perpendiculaire à la tangente au cercle qui passe par son extrémité. En angles : la corde relie à et le rayon est lui positionné en

Mais la démonstration de me paraît toujours aussi obscure, désolé

Tu fais exprès là : c'est un segment vertical, et c'est un bout de courbe qui parcourt verticalement la même distance que , d'où

[Gwyddon]

Donc ma démo n'est pas si claire que ça

Non, c'est juste qu'elle est fausse en l'état (oui je suis chiant, mais les maths c'est de la rigueur avant tout)

J'ai vérifié, tu as du mal lire. La corde, comme la droite tangente, devient verticale lorsque , on a donc la pente qui tend vers , et son inverse qui tend vers , d'où

La pente doit être négative (regarde sur ton dessin), toi tu as écrit une pente positive. Donc ta pente était fausse. Et ensuite tu n'as pas répondu à mes demandes de clarifications des quantités que tu manipules. Ce n'est pas parce que quelque chose semble évident que sa démonstration l'est !

Ben c'est de la géométrie : la corde est perpendiculaire au rayon qui passe par son milieu, ce rayon qui est également perpendiculaire à la tangente au cercle qui passe par son extrémité. En angles : la corde relie à et le rayon est lui positionné en

Tout à fait d'accord ! Mais il faut le dire, sinon la démonstration est incomplète, car ça n'a rien d'évident. Il suffit pas de le balancer comme ça sans démonstration.

Tu fais exprès là : c'est un segment vertical, et c'est un bout de courbe qui parcourt verticalement la même distance que , d'où

Ceci n'est en rien une démonstration, mais une suite d'affirmations. De plus, et sont des nombres, pas des segments ni des bouts de courbe.

[RuBisCO]

Allons-y gaiement pour cette démonstration : si on se place dans l'intervalle
- l'aire du triangle OMA est de
- l'aire du secteur OAM est de .
Comme le secteur contient le triangle, on a donc , ce qui fallait démontrer.

[Gwyddon]

Merci RuBisCO, tu m'as débloqué

J'étais sincère pour le sinus, je ne voyais vraiment pas (comme quoi on peut aussi bloquer sur des choses simples, parce que sinon j'en ai d'autres des démos pour la limite du sinus, ainsi que la dérivabilité )

Pour acx01b : tu es complètement à côté de la plaque, et pour le coup ton message est désagréable, déplacé et inadmissible, digne d'un troll. Tu as été signalé à la modération pour ton comportement inqualifiable.

Note : j'ai été modérateur sur ce forum, je crois que je sais mieux que toi comment il fonctionne

[RuBisCO]

Et si on posait tranquillement nos compas et nos équerres sur le sol et si on discutait tranquillement !
Je pense que c'est un peu une erreur de compréhension et de formulation.

@ Gwyddon : ravi d'avoir pu te débloquer ! Les mathématiques sont rigueurs et exactitude, donc chercher la petite faille est nécessaire pour tester nos raisonnements et faire de jolies démonstrations. Par contre, la manière de le faire savoir peut être très importante. Tes messages très insistants sur des détails, pour quelqu'un qui ne connaîtrait pas ta rigueur, passeraient pour une volonté de nuire, proche du harcèlement. Le mieux, c'est de soulever dans le calme et le dialogue, pas sous forme de match où chacun cherche à mettre des points.

@ acx01b : je conçois très bien ton impression aux vue des messages de Gwyddon, mais tu oublies peut-être que leur signification est d'aboutir à une démonstration irréfutable, donc à la logique impeccable. Peut-être est-ce de façon maladroite, mais c'est un allié et non un adversaire avec qui tu échanges. Au lieu de commencer les attaques personnelles, qui ne s'adressent pas du tout au raisonnement donc hors-sujet, tu peux calmement expliquer ton point de vue et inviter gentiment les gens à s'expliquer.