Etude de la periodicité d'une fonction

[invite207e86f0]

Bonjour , je suis bloquée sur une question de mon devoir de math qui est :
Soit F la fonction definie sur [-3;3] par f(x)=( 1/4)x⁴-2x²+3
La fonction est- elle periodique ? ( le demontrer .)
Si vous pouvez m'aider a demontrer cette periodicité ce serait vraiment chouette
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[invitea29b3af3]

Salut

Pour montrer qu'une fonction est périodique il faut que f(x+T) = f(x). Il faut donc calculer f(x+T) et voir si c'est égal ou non à f(x).

[invite207e86f0]

Merci en effet J'ai essayée de faire ce calcul en developpant la fonction pour f(x+T) mais cela m'a donné un calcul super compliqué je ne pense pas que le devellopement soit la meillleur solution , mais je ne vois pas comment faire autrement .

[invitea29b3af3]

Sans forcément tout développer, essaie de développer pas à pas f(x+T) et f(x) en parallèle, en les supposant égaux au départ, et en vérifiant si à un moment dans le développement tu arrives à quelque chose qui te prouve qu'ils ne sont pas égaux. Genre un développant f(x+T) un peu, on obtient quelque chose avec notamment un terme en x³ et un terme en x (essaie). Or dans f(x), tu n'as que des termes en x⁴ et en x², mais aucun en x³ ou en x. Ou, autrement dit, les coefficients devant les termes en x³ et en x dans f(x) sont nuls, c'est-à-dire que . Si on voulait que ceci puisse être équivalent à f(x+T) pour tout x dans Df et pour T non nul, il faudrait que les coefficients devant les termes en x³ et en x dans f(x+T) soient également nuls... Je te laisse conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite207e86f0]

Ok j'essaye merci

[invite207e86f0]

Faut il que je développe avec un identité remarquable meme pour (x+T)⁴?

[gg0]

Bonjour.

Le domaine de définition étant borné, la fonction ne peut pas être périodique !

Rappel de la définition : Il existe un réel T>0 tel que quel que soit alors et ....
Il y a blocage pour x=3.

Cordialement.

[invitea29b3af3]

Si tu veux montrer qu'il y a des termes en x³ dans f(x+T). Mais je te rappelle que (x+T)⁴=(x+T)²(x+T)². Et comme (x+T)²=x²+2xT+T², et que tu multiplies cette expression par elle-même pour avoir (x+T)⁴, tu vois que t'auras des termes en x³ et en x. Mais si t'es pas trop sûre, développe (x²+2xT+T²)(x²+2xT+T²) et tu verras que t'auras bien des termes x³ et en x à la fin.

[invite207e86f0]

Ça veut dire qu'une fonction ne peut etre periodique que si elle est definie sur [- l'infini; +l'infini ] ?

[invite207e86f0]

Ok , merci fiatlux . ( j'essaye ce calcul ) .

[gg0]

Ça veut dire qu'une fonction ne peut etre periodique que si elle est definie sur [- l'infini; +l'infini ] ?

Non, prends qui est périodique mais pas définie pour x=4.

Cordialement

NB : pourquoi calculer ??

[invite207e86f0]

NB : pourquoi calculer ??

Notre prof nous demande de demontrer , donc je pense qu'il faut faire un calcul pour prouver que ce n'est pas periodique .

[invitea29b3af3]

Disons que ça dépend du prof, mais si tu dis que dans y'a du x et que est strictement positif, donc quand on le multiplie par lui-même y'a du et du x qui nous reste sur les bras, à mon avis ça suffit. Il faut juste que toi tu en sois convaincue. Si tu ne l'es pas, fais le calcul.

[invite33a19382]

Petite précision !
Une démonstration n'implique pas forcément un calcul !
Généralement même, un calcul est plutôt une vérification !
Si dans ton cours tu as un théorème concernant les fonctions périodiques de période T, et que ce théorème te donne une preuve de la périodicité ou non de la fonction, dans ce cas tu peux conclure.
Attention cependant à ne pas aller trop vite ! Le théorème peut ne pas être applicable : dans ce cas ça ne signifie pas que ta fonction n'est pas périodique mais simplement que tu ne peux pas utiliser le théorème

Si tu veux y voir plus clair dans ton calcul, essaye de factoriser ton expression
Pose par exemple X=x^2 et trouves les solutions de 0.25X^2 -2X + 3 = 0 et tu auras des calculs beaucoup plus simple !

Utilise ton instinct aussi ! Une fonction polynomiale a t elle des chances d'être périodiques ?
Tu aurais pu regarder aussi ce que ça fait de changer x en (-x), tu aurais tout de suite eu ta réponse

[gg0]

Bonjour Géraldine.

"Notre prof nous demande de demontrer"

Ce que j'ai écrit est une vraie preuve. Pour démontrer qu'un propriété générale (qui dit "quel que soit ..") est fausse, il suffit de montrer qu'il y a un cas où elle est fausse. Et ça c'est une excellente démonstration.
Si la propriété "si alors " est fausse pour un x (3, ici), alors elle n'est pas vraie pour tous les x, donc la définition de "périodique" ne s'applique pas à f.

Cordialement.

[invite207e86f0]

Merci pour votre aide ggo , il reste cependant un point que je ne comprend pas ... pourquoi le fait que cette fonction soit définie sur [-3;3] la rend non periodique ?

[gg0]

Dans la définition de fonction périodique, il y a le T>0. Par périodicité, si x est dans , alors x+T est aussi dans , donc aussi (x+t)+T=x+2T, puis x+3t, x+4 T, .... x+n T, où n est n'importe quel entier. Or il se trouve que les x+nT deviennent plus grands que n'importe quel nombre fixe quand on fait augmenter n. Donc si est borné, c'est à dire que au delà d'un certain nombre il n'y a plus de x appartenant à , la définition ne marche pas. Si elle ne marche pas, ça veut dire que f n'est pas périodique.

Mais en fait, je t'avais donné une preuve plus simple que la définition ne marche pas dans ce cas : 3 est dans . Si la définition marchait, 3+T devrait être dans . Or 3+T>3, donc 3+T n'est pas dans .
On n'a pas le choix soit la fonction est périodique et le domaine de définition va au delà de 3, soit le domaine de définition est [-3;3].
Je viens de faire un raisonnement dit "par l'absurde" (on a supposé f périodique et trouvé une contradiction, une absurdité : 3+T est dans et il n'y est pas !). Mais en fait on peut utiliser la contraposition (*) :
Comme "f périodique" implique "f est définie pour au moins un nombre strictement supérieur à 3"
"f n'est pas définie pour les nombres strictement supérieurs à 3" implique "f n'est pas périodique".

Cordialement.

(*) la contraposition est la technique qui utilise une implication (conséquence) A implique B (A et B sont des phrases) pour en déduire une autre : (non B) implique (non A). (non ...) veut dire phrase contraire de ...
Par exemple du théorème de Thalès, on déduit "si alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A

[PlaneteF]

... pourquoi le fait que cette fonction soit définie sur [-3;3] la rend non periodique ?

En complément de ce que vient de t'expliquer gg0, on peut dire que cette fonction n'est périodique sur aucun intervalle, et notamment n'est pas non plus périodique sur .

Maintenant un exercice intéressant est de démontrer ce dernier résultat, ... car là on ne peut plus invoquer que la condition nécessaire ne soit pas satisfaite comme dans le cas de l'intervalle .

Remarque : la démonstration se fait sans quasiment aucun calcul , ... c'est-à-dire, ne pas s'embarquer dans des développements compliqués du genre (1/4)(x+T)⁴-2(x+T)²+3 ... calculs totalement inutiles !