Etude de la périodicité d'une fonction

[inviteab0994ec]

Bonjour à tous, je coince de nouveau sur une question de mathématiques et viens donc solliciter votre aide.

Je dois étudier la parité et la périodicité de la fonction f définie par f(x) = √(1 + sin²x).

Pour étudier la parité de f(x), j'ai calculé f(-x) :
f(-x) = √(1 + sin²-x) ;
Comme la fonction sinus est élevée au carré, elle est toujours positive quelle que soit la valeur de x, alors sin²x = sin²-x. On a donc bien f(-x) = f(x).

Alors la fonction f est paire. On peut en déduire que la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.


Par contre, je n'arrive par à déterminer la périodicité. Je pense que la période de T = π, vu que la fonction sinus au carré fait partie de f, mais je ne sais pas comment le prouver.

Je sais juste qu'on a : sin²x + cos²x = 1, alors on a : sin²x = 1 – cos²x. Mais à partir de là, je ne sais pas quelle voie suivre.


Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
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[Eurole]

Bonjour.
sin²x varie de 0.x à 1.x,
c'est-à-dire de 0 à x à chaque radiant

[NicoEnac]

Bonjour,

sin(x+k.Pi) = (-1)^ksin(x). Cela devrait t'aider

[inviteab0994ec]

Merci de vos réponses, mais je dois avouer être à nouveau perdu.

Comment arrivez-vous à déterminer que sin(x + kPi) = (-1)^ksin(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Re,

Que vaut sin(x+Pi) par rapport à sin(x) ? Fais le dessin sur cercle trigonométrique si tu ne vois pas.
Ensuite tu sais que sin est 2Pi périodique donc sin(x+k.Pi) = sin(x+Pi) ou sin(x) selon si k est pair ou impair (k est un nombre entier, c'est vrai que j'ai oublié de le préciser)
Tu comprends ?

[invite2bc7eda7]

Bonjour,

Pour étudier la parité de f(x), j'ai calculé f(-x) :
f(-x) = √(1 + sin²-x) ;
Comme la fonction sinus est élevée au carré, elle est toujours positive quelle que soit la valeur de x, alors sin²x = sin²-x. On a donc bien f(-x) = f(x).

Alors la fonction f est paire. On peut en déduire que la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Pour pouvoir affirmer ceci, il faut d'abord s'assurer que le domaine de définition est centré en 0 ! sinon cela n'a pas de sens... Les élèves oublient généralement ce point qui semble être un détail mais qui ne l'est pas du tout!

Bonsoir,

Mystérieux1

[inviteab0994ec]

Merci pour votre aide, je suis finalement arrivé au bout de ces exercices.