Résoudre une équation avec des puissances

[invitec18b2161]

Bonjour !
Je voulais savoir quelle serait la méthode à adopter pour résoudre l'équation 2^x+3^x=10 ??
En fait, plus généralement, je cherchais la méthode de résolution d'un équation du type a^x+b^x=c.
Je sais qu'il faut utiliser ln(x) lorsqu'il s'agit d'une équation du type a^x=b, mais lorsqu'on a la somme de deux nombres
puissance x, je ne vois absolument pas comment l'utiliser ...
En vous remerciant par avance, aidez-moi s'il vous plaît !
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[invitea29b3af3]

Salut

je ferais un changement de variable, sachant que
Si tu poses ....

[invitec18b2161]

Merci beaucoup !!
Mais je ne vois pas vraiment comment je peux continuer après, je me retrouve dans une équation du type y^ln(a)+y^ln(b)=c
Et je ne vois pas tellement comment je peux résoudre ça ...
En te remerciant par avance !!

[gg0]

Bonjour.

Il n'y a pas de raison pour qu'on sache résoudre par un calcul une équation.
Si on a souvent à résoudre une équation, on définit parfois un nouvel objet mathématique qui est la solution, ou une des solutions.

Par exemple x²=a avec ne se résout généralement pas avec les quatre opérations. On appelle la solution positive de cette équation. Mais même pour a entier, on n'arrive généralement pas à écrire avec un nombre fini d'entiers et les quatre opérations.

Cordialement.

NB : Pour ton équation, il est facile de voir qu'il y a une seule solution et d'en trouver une valeur approchée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec18b2161]

Merci beaucoup gg0 !!
Je sais que l'équation ne se résoudra pas forcément avec un calcul, mais là je ne vois même pas comment je pourrai chercher une valeur approchée, à part
en tâtonnant graphiquement ^^""...
Tu pourrais s'il te plaît m'indiquer comment il faut s'y prendre ?
En te remerciant par avance !!

[invitea29b3af3]

Salut

Avec la méthode de Newton, tu peux avoir une solution approchée.
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton
Je te conseille de lire la partie "algorithme" puis l'exemple juste en dessous. Demande-moi si t'as une question.
C'est très facile à appliquer.

[invitec18b2161]

Merci beaucoup, j'ai appliqué la méthode et ça marche parfaitement !!
J'ai trouvé 1.729255559 avec la calculatrice et pareil avec WolframAlpha ^^.
Donc en fait ce genre d'équation ne pourra se résoudre qu'en cherchant une valeur approchée avec la méthode de Newton par exemple,
et une formule directe ne permettra pas de l'obtenir ^^, j'ai compris ^^.
Merci beaucoup encore une fois à toi fiatlux et à gg0 !!

[gg0]

Je parlais de

est une fonction strictement croissante qui passe de 5 pour x=1 à 13 pour x=2. Donc il y a une solution et une seule, comprise entre 1 et 2
Un simple programme de dichotomie donne rapidement pas mal de décimales exactes. L'algorithme de Newton-Raphson les donne encore plus vite.
Voici une valeur approchée avec 75 chiffres après la virgule :
1.7292555589818595724738162714 273986692186564316620278256996 8341182293947011
L'erreur est inférieur à
Bien évidemment, je n'ai pas fait le calcul à la main et 76 décimales exactes ne servent généralement à rien (3 ou 4 suffisent amplement à la plupart des cas concrets.

Cordialement.

[invitea29b3af3]

Tant mieux
Oui effectivement une solution analytique n'est pas possible ici, seule une solution numérique est possible.
A+