[Problème] identifier des lieux géométriques entre fonctions

[inviteafc1e92d]

Bonjour,

Voici un problème sur le thème de l'interprétation géométrique, qui associe un trinôme paramétré et une fonction homographique. Je pense que les premières questions sont (bien ?) traités, mais j'ai besoin d'un coup de pouce pour finir en 3b.

On considère les 2 fonctions suivantes :
et
où est la variable, un paramètre.
Soient la courbe représentative des variations de , la courbe représentative des variations de dans un même repère orthonormé.
- 1°) Construire la courbe de .
- 2°) Montrer que,, la courbe coupe l'axe en un point A dont l'abscisse est indépendante de .
Calculer, en fonction de , les coordonnées du sommet de la courbe . Quel est l'ensemble des positions du point associé à l'ensemble R des valeurs de . Construire sur le même graphique que la courbe .
- 3°)
a) Dénombrer, suivant les valeurs de , les points de l'ensemble .
b) Soit l'ensemble des valeurs de pour lequelles l'ensemble comprend trois éléments distincts ou confondus; déterminer l'ensemble des positions de associé à .

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- 1°) Je regrouperai dans un seul graphique toutes les courbes demandées, mais je constate facilement que est la racine de .

- 2°)
Réponse : j'en conclus que est une racine fixe de , indépendante de , et c'est l'abscisse demandée du point A.
Les relations des coordonnées du sommet d'une parabole exprimées avec les coefficients sont :
et
Si je remplace les coefficients généraux par les valeurs imposées du problème :

J'obtiens les coordonnées demandées du sommet , exprimées en fonction de :
Réponse :
A ce stade, il est possible d'éliminer des deux expressions :
, que je substitue dans l'autre expression
Réponse : il s'en suit que l'ensemble recherché, qui une parabole d'équation : , avec sa racine double comme sommet, représente la "trajectoire" de suivants les valeurs de pour .

- 3°a) Les points de l'ensemble demandé sont ceux, en commun aux courbes et , qui vérifient l'équation :

Cette une équation du 3ème degré, qui présente un point fixe pour , la racine commune à de nos expressions de départ, va m'aider à poursuivre... par la méthode d'identification des coefficients :


Par identification je détermine les coefficients :

Donc en définitive j'obtiens :

Pour dénombrer, suivant les valeurs de , les points de l'ensemble , intersection des courbes de , je dois examiner le discriminant du trinôme :

J'en déduis son signe :
Réponse : en conclusion sur le nombre d'éléments de :
Si alors E possède un seul élément : ,
Si alors E possède deux éléments, et la racine double du trinôme,
Si alors E possède trois éléments, et les deux racines du trinôme.

3°b) Je sèche sur la dernière question que j'ai du mal à la comprendre.

Le graphique des courbes, réalisé avec Geogebra, est en pièce jointe.
Merci d'avance pour vos réponses, malgré une lecture un peu longue mais que j'ai voulu rendre la plus fluide possible !
@+
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[inviteafc1e92d]

Houston ?
@+

[gg0]

Bonjour.

Avant de passer à la 3b, une petite précaution dans le cas "Si alors E possède trois éléments, et les deux racines du trinôme." : Il peut y avoir seulement 2 éléments si l'une des racine vaut 3.

Pour la 3b, finalement, on te demande le lieu des sommets pour lesquels il y a trois éléments dans E. Donc la partie de la parabole correspondant aux sommets pour lesquels il y a trois intersections. Comme tu as une équation paramétrique (paramètre m) de la parabole, c'est simple. par exemple, la limitation es valeurs de m impose une limitation des valeurs de x_s.

Cordialement.

[inviteafc1e92d]

Bonjour.

Avant de passer à la 3b, une petite précaution dans le cas "Si alors E possède trois éléments, et les deux racines du trinôme." : Il peut y avoir seulement 2 éléments si l'une des racine vaut 3.

Oui c'est vrai. Même que dans l'énoncé, il envisage 3 points confondus donc comme racine triple ?

Pour la 3b, finalement, on te demande le lieu des sommets pour lesquels il y a trois éléments dans E. Donc la partie de la parabole correspondant aux sommets pour lesquels il y a trois intersections. Comme tu as une équation paramétrique (paramètre m) de la parabole, c'est simple. par exemple, la limitation es valeurs de m impose une limitation des valeurs de x_s.

Ok, je pense avoir compris ta réponse. Je rappelle que pour avoir trois intersections il faut que , c-a-d et .
J'en déduis les deux inéquations à résoudre en remplaçant , dans l'expression , par ses valeurs numériques :

C'est ok ?

Merci et @+

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ben ...

disons qu'écrit comme ça ce n'est pas clair (et pas terminé, tu ne réponds pas à la question).
par exemple "c-a-d et ." signifie c-a-d jamais, puisque x ne peut pas être à la fois négatif et supérieur à 4.

Cordialement.

[inviteafc1e92d]

Ben ...

disons qu'écrit comme ça ce n'est pas clair (et pas terminé, tu ne réponds pas à la question).
par exemple "c-a-d et ." signifie c-a-d jamais, puisque x ne peut pas être à la fois négatif et supérieur à 4.

Merci pour ta réponse.
Une bourde, c'est le OU exclusif et pas le ET (plus restrictif). Ok je reprends...
Soit l'ensemble des valeurs de qui déterminent , celles qui vérifient : OU bien .
J'en déduis, lorsque les valeurs sont restreintes à , que l'ensemble des positions de est associé aux couples dont les valeurs de vérifient :
.

Alors c'est mieux ?
Merci bcp et @+