Matrice

[invitee0960580]

Bonjour, j'ai du mal à résoudre cet exercice;

On considère l'application linéaire f: R^3-->R^4 : (x,y,z) --> (x-y, y-z, z-x, y-x)
a) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R^3 et R^4.

Je trouve la matrice de f qui lui permet de passer de R^3 à R^4 :
1 -1 0
0 1 -1
-1 0 1
-1 1 0
Et cela me donne 3 vecteurs de R^4 qui sont les colonnes de la matrice f. C'est bien cela?

b) Posons
b1=(1,1,1,1)
b2=(1,0,0,0)
b3=(0,1,0,0)
b4=(0,0,1,0)
Quelle est la matrice de f dans les bases canonique de R^3 et b1,b2,b3,b4 de R^4?

Est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer parce que je vois pas comment il faut faire!

Merci d'avance!
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[invitec3143530]

On t'as déjà répondu :
http://forums.futura-sciences.com/ma...2-matrice.html

[sylvainc2]

Ce n'est pas tout-à-fait la même question, il y a la partie b) en plus. Pour y répondre, il faut écrire f1,f2,f3 et f4 en fonction de b1,b2,b3 et b4, puis substituer ces valeurs dans la définition de f(e1),f(e2) et f(e3) pour avoir les colonnes de la matrice en fonction de b1 à b4, la nouvelle base de R^4.

[invitee0960580]

Comment faire pour trouver f1 en fonction de b1?

Je comprends pas comment on trouve que
f(e1) = (1,0,-1,-1) = (-1) b1 + 2 b2 + 1 b3 + 0 b4

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Tu sais que f(e1) s'écrit dans la base canonique de R^4 (1,0,-1,-1).

Il faut donc réécrire (1,0,-1,-1) dans la base b1 b2 b3 b4.
Tu sais que (1,0,-1,-1) = e1-e3-e4 où les (ei) sont les vecteurs de la base canonique. Maintenant si tu sais écrire les vecteurs de la base canonique dans la base b1,b2,b3,b4, tu pourras écrire f(e1) dans cette base.

[invitee0960580]

Je comprends rien

[invitee0960580]

Comment tu fais pour réécrire (1,0,-1,-1) dans la base b1 b2 b3 b4?

[invitec3143530]

(1,0,-1,-1) est une combinaison des vecteurs e1 e2 e3 et e4 il suffit de les réécrire chacun dans la base b1 b2 b3 b4

e1=(1,0,0,0)=xb1+yb2+zb3+tz4
ça te donne 4 équations à 4 inconnues que tu sais résoudre par le pivot de gauss. Idem pour e2 e3 et e4. Il suffit ensuite de faire la combinaison e1-e3-e4 avec leurs nouvelles écritures dans la base b1 b2 b3 b4 pour avoir f(e1) dans la nouvelle base. Le truc c'est qu'il faut pas confondre un vecteur, qui est indépendant de toute base, avec ses cordonnées dans une base précise.

[invitee0960580]

Mais ça me donne 4 équations à 4 inconnues qui valent toutes 0 (sauf y):
e1=(1,0,0,0)=x(1,1,1,1)+y(1,0, 0,0)+z(0,1,0,0)+t(0,0,1,0)
1=x+y
0=x+z
0=x+t
0=x
et c'est faux...

[invitec3143530]

Non, tu es sur la bonne voie : x=0, t=0, z=0 et y=1. Rien n'empêche que certains coefficients soient nuls. D'ailleurs e1=1.e1+0.e2.

[invitee0960580]

Ok merci pour ton aide