Bonjour
Ci joint un exo de premiere S.
j'expose juste la derniere question 2) b)
voici ma réponse:
Il est impossible d'obtenir une forme canonique à partir de l'équation de la courbe gamma. Donc la courbe n'est pas un arc de cercle.
Est ce suffisant ou pas du tout ?
Merci
Il ne suffit pas de dire que c'est impossible, il faut le prouver !
Par exemple s'intéresser au point correspondant à x=y. Où est-il ?? Où serait-il pour un cercle ?
Bonjour
Dans les questions precedentes, on a démontré que la courbe est symétrique par rapport à la droite:y=x, le centre du cercle serait sur cette droite car un cercle est symétrique par rapport à ses diametres.
puis je ne vois pas comment prouver que ce n'ai pas un cercle
Merci
En prenant quatre points et en montrant que le quatrième n'est pas sur le cercle donné par les trois autres.
Cordialement.
NB : N'est-ce pas une évidence ?
Oui, c'est une évidence car un cercle passe par trois points non alignés. Le probleme, comment obtenir les coordonnées du soit disnt le centre !
Je ne vois pas et pourtant j'ai essayé.
Merci
Bon, quelques idées :
* le centre (centre du cercle circonscrit au triangle) est l'intersection de deux médiatrices.
* On obtient le même calcul en écrivant que si K(x,y) est le centre d'un cercle passant par A, B et C, KA²=KB²=KC² puis en éliminant les carrés x² et y² par soustraction des équations.
* On peut aussi dire que le cercle d'équation x²+y²-2ax-2by+c=0 passe par les trois points, et résoudre le système linéaire (inconnues a, b et c) obtenu.
Dans les deux premiers cas, on compare les distances KA et KD où D est le quatrième point. dans le dernier, on vérifie si les coordonnées de D conviennent.
Bon travail !
A noter :
rédigé ainsi, l'énoncé semble suggérer qu'il est évident de trouver son centre. Si tu as à ta disposition les dérivées, tu peux montrer que l'axe des x est bien tangent au point d'abscisse 1 à la courbe. ce qui te donne la position du centre d'un éventuel cercle. Il ne te reste plus qu'à montrer que le point situé sur la droite d'équation y=x n'est pas à la bonne distance.
Cordialement.
Nb : On fait dans ce cas une vraie preuve par l'absurde : "Si la courbe est un cercle .... c'est faux, donc la courbe n'est pas un cercle.
Parabole
Peut-être pas ce qui est demandé, peut-être pas au programme, mais plus simple que les dérivées...
(Variante encore plus simple : c'est une portion de conique non dégénérée, et celle-ci n'est pas limitée quand x -> infini, ce n'est donc pas un cercle...)
Dernière modification par Amanuensis ; 02/06/2012 à 12h52.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Amanuensis,
au niveau première S, on n'a pas ces connaissances. De plus tu sous-entends (c'est le reproche fait au départ à la "preuve" de Kaderben) que des courbes différentes ne peuvent pas avoir des parties "identiques" (à un déplacement près).
Comme toujours, les preuves les plus simples deviennent très lourdes lorsqu'il faut redémontrer tous les théorèmes sur lesquelles elles s'appuient et qui ne sont pas connus de celui qui pose la question !
Cordialement.
NB : As-tu déjà prouvé qu'un arc de parabole n'est pas un arc de cercle ?
Les dérivées et tangentes non plus... C'est bien la difficulté posée par l'exercice. Je ne vois pas trop ce qu'on attend d'un élève de première, là...Envoyé par gg0
Faux. Seulement pour les coniques, et c'est une propriété connue (qu'on peut apprendre) des coniques.De plus tu sous-entends (c'est le reproche fait au départ à la "preuve" de Kaderben) que des courbes différentes ne peuvent pas avoir des parties "identiques" (à un déplacement près).
Ce genre de propriété des coniques étaient enseignées beaucoup plus tôt dans le cursus il y a quelques dizaines d'années, il me semble.Comme toujours, les preuves les plus simples deviennent très lourdes lorsqu'il faut redémontrer tous les théorèmes sur lesquelles elles s'appuient
Maintenant, de toutes manières, "démontrer" n'est même plus au programme au lycée...
PS : Pour démontrer que, sauf exceptions, une conique est uniquement déterminée par 6 points n'est pas bien difficile, une fois qu'on a appris que 6 équations linéaires du 1° degré à 6 inconnues ont en général une solution unique...
Dernière modification par Amanuensis ; 02/06/2012 à 14h19.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Euh ...
Ah bon ? On ne voit plus les dérivées en première S ?? Tu devrais te renseigner.Les dérivées et tangentes non plus..
Pas dans l'enseignement secondaire français. J'ai été élève en maths élem, puis prof en S et C, j'ai appris et enseigné les notions au programme sur les coniques, à l'époque où il y en avait, ça n'a jamais fait partie de ces programmes. Désolé !et c'est une propriété connue (qu'on peut apprendre) des coniques.
...
Ce genre de propriété des coniques étaient enseignées beaucoup plus tôt dans le cursus il y a quelques dizaines d'années, il me semble.
Enfin, le but de ce fil n'était pas d'évoquer un bon vieux temps mythique, mais d'aider vraiment Kaderben. Y compris à apprendre à démontrer (ce qu'on peut toujours faire quand on est élève de première S).
Cordialement.
Une possibilité utilisant un cas simple de tangente est de prolonger la courbe pour x>1 et utiliser le fait qu'elle reste positive et donc que la droite y=0 est la tangente en (1,0). Le centre est
alors sur la droite x=1, et par symétrie aussi sur la droite x=y. Le calcul des distances finit la démo. Ainsi il y a très peu d'analytique...
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OK pour les dérivées en première, j'ai suivi la scolarité de mes jeunes, mais même là, leurs premières sont quelques années en arrière.
Mais pourquoi avez-vous écrit "Si tu as à ta disposition les dérivées" ?
Dernière modification par Amanuensis ; 02/06/2012 à 14h35.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Parce qu'on les voit éventuellement très tard dans l'année.
Mais j'étais à peu près sûr qu'il les avait vues.
Cordialement.
NB : Comme on n'a pas l'énoncé complet, difficile de savoir ce qu'on voulait lui faire faire.
Tout cercle de rayon R centré en (a,b) a comme équation (x-a)**2 +(y-b)**2 = R**2
Cette équation de 2nd degré N'A PAS de terme en xy
Le développement de l'équation de la courbe "gamma" donne un terme en xy (coefficient +/- 2)
Ce n'est donc pas un cercle !
J'aurais vu les choses plus simplement en cherchant où est le point sur la droite y=x.
D'après le graphe, le centre devrait être le point[1 ; 1] et le rayon 1. Donc si c'est un cercle, c'est le point x=y= racine(2) -1
Or on voit sur l'équation que c'est x=y = 1/4
Donc ce n'est pas un cercle.
Bonjour
Oui, en première S on étudie les dérivées, les paraboles y=ax^2 +bx + c. Pour information, cet exercice est donné dans le chapitre "produit scalaire".
ggO conseille la dérivée:
f'(x)=1-1/Vx et f'(1)=0, l'axe des abscisses est tangent à gamma. Donc si l'arc est un arc de cercle, son centre serait le point C(1;1) et de rayon 1.
gamma et l'axe de symétrie y=x se coupent en M(1/4;1/4). CM^2=9/8 et CM=3/(2V2), or CM>1 donc gamma n'est pas 1/4 de cercle.
Merci pour un commentaires.
Pour Tuan :
Le fait qu'une équation d'un ensemble de points ne soit pas celle habituelle d'un cercle ne permet pas de dire que cet ensemble n'est pas un cercle. Il y a une infinité d'équations possibles pour une courbe donnée.
Par exempleest une équation du cercle trigonométrique !!
Cordialement
à JeanPaul....
non, ce serait x=y= (racine(2) -1)/racine(2) = 0,2929
Cependant, "d'après le graphe" ne serait pas vraiment un argument de démonstration... Si ?
Imaginons une fonction telle que la dérivée en x=0 ne soit pas vraiment "-infini" et en x=1 ne soit pas vraiment nulle, le centre ne serait dès lors pas vraiment en (1,1).
Cordialement.
OK, j'ai calculé la dérivée en x=0 et x=1...
à gg0... je parlais des équations implicites au 2nd degré en x et y...
Et alors ?
Il faudrait que tu prouves, dans le cas général, que deux équations différentes donnent des courbes différentes. Au niveau première S, je crains que ce soit difficile ! surtout que c'est faux !
Mais en fait, c'était le premier argument proposé par kaberden, critiqué du début !!
Cordialement.
à gg0
A partir de n'importe quelle équation tu peux la multiplier par un facteur non nul pour engendrer une infinité d'autres équations... C'est ce que tu as fait avec l'équation de BASE du cercle (x**2 +y**2 -1 =0) moyennant le facteur (x**2 +1) non nul... Pas terrible !
Je n'ai jamais déclaré ce que tu voulais me faire déclarer...
En consultant tout ouvrage d'étude des coniques tu retrouveras ce que j'ai dit : Une équation implicite de degré 2 en x et y sans le terme en xy est une équation d'un cercle et réciproquement...
Ne brouillons pas davantage l'esprit des jeunes, c'est inutile.
Cordialement.
C'est incomplet si vous voulez l'équivalence. J'imagine que vous voulez dire toute équation du second degré dont les terme du second degré sont exactement de la forme a(x²+y²).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Mais la question n'est pas là :
Une équation implicite de degré 2 en x et y sans le terme en xy (+ autres conditions) est une équation d'un cercle dans le plan x, y, personne n'a dit le contraire.
Un cercle (dans le plan x, y), a, pour une de ses équations, "une équation implicite de degré 2 en x et y sans le terme en xy (+ autres conditions)", personne n'a dit le contraire.
La question est : si je vous donne une équation qui n'est pas de la forme attendue, est-ce l'équation d'un cercle : vous ne pouvez pas répondre "non", péremptoirement, il suffit de regarder l'exemple de gg0.
Parmi les autres conditions, il y a : les coefficients de x² et y² doivent être égaux et non nuls (sinon elle ne serait pas du 2nd degré, mais ce n'est pas inutile de le préciser), mais aussi que le "rayon²" ne soit pas strictement négatif.
Dernière modification par Médiat ; 04/06/2012 à 09h06. Motif: Correction sur le "rayon"
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
D’accord, j’étais léger en écrivant ma dernière réponse…
Il ne s’agit pas de citer quelle(s) équation(s) représente(nt) un (arc de) cercle.
Dans sa forme non réductible du 2nd degré en x et y, l’équation de cette courbe gamma comprend le terme en xy . Ce seul détail suffit pour conclure que cette courbe n’est pas un arc de cercle.
Tuan :
pas terrible, et faux ! (*) Mais encore une fois tu vas trop vite aux conclusions.C'est ce que tu as fait avec l'équation de BASE du cercle (x**2 +y**2 -1 =0) moyennant le facteur (x**2 +1) non nul... Pas terrible !
Ce n'est pas parce que tu es persuadé de ceci : " l’équation de cette courbe gamma comprend le terme en xy . Ce seul détail suffit pour conclure que cette courbe n’est pas un arc de cercle " que c'est une preuve !
C'est très simple une preuve mathématique (ce n'est pas une question d'opinion) : C'est une suite d'applications des théorèmes et définitions aux hypothèses. Puisque tu es persuadé de cette propriété, démontre-la (rédige une vraie démonstration) avec les théorèmes connus en première. Ou, si tu n'y arrives pas, avec des théorèmes de début d'université. Mais inutile de nous redire ton opinion, puisque la question de base était d'avoir une preuve.
Cordialement.
(*) Je suis bien parti de l'équation classique du cercle trigonométrique, que j'ai transformée de façon très simple.
Multiplier certaines choses par 1, par exemple
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Aie, aie, aie !!
Je viens de me relire, je ne voulais pas écrire, mais
Donc Tuan, tu avais raison, je suis désolé d'avoir mis en doute ton explication. Par contre, c'est un coup de chance que ce soit effectivement l'équation d'un cercle. Donc en relation avec la chance, on ne peut pas dire "pas terrible", j'ai eu un pot du tonnerre
Cordialement.
Bonjour
Je crois que vous m'avez oublié !
J'attends un commentaire, si possible, sur ma dernière réponse.
Merci
Ah non, Kaderben,
je ne t'avais pas oublié. Mais comme tu faisais un raisonnement correct, qui correspondait à ce qui t'avait été proposé, je pensais que ça n'appelait pas de commentaire. Tu n'étais pas sûr de ce que tu écrivais ? Pourtant ce ne sont que des applications immédiates de tes règles habituelles, non ?
Cordialement.
