Analyse Combinatoire

[Guimzo]

Bonjour,


Voilà le petit probléme en question :


Soit X l'ensemble de 17 nombres { 1 ; 2 ; sqrt(2) ; 3 ; sqrt(3) ; 4 ; 5 ; sqrt(5) ; 6 ; sqrt(6) ; 7 ; sqrt(7) ; 8 ; sqrt(8) ; 9 ; 10 ; sqrt(10) }

Et Y l'ensemble des 4 signes d'opérations { + ; - ; * ; / }


Question N°1 :


Quel est le nombre d'éléments de l'ensemble Z sachant qu'un élément de Z est composé de 8 nombres et 7 signes d'opérations....?
( il n'est pas interdit d'utiliser le même nombre plusieurs fois et le même signe plusieurs fois )


Exemple :

( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) [ On a donc bien utilisé 8 nombres et 7 signes ]
ou bien

( 2 - 3 ) / ( sqrt(5) * 7 ) - ( 7 * 3 ) / ( 1 + 10 ) [ On a donc bien utilisé 8 nombres et 7 signes ]


Combien de ce type d'élément qu'il est donc possible de faire ...??



Question N°2

Quel est le nombre d'élément de Z strictement positif....?
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[Médiat]

Bonjour,

Qu'avez-vous déjà fait ?
L'énoncé est-il complet ?
Vous donnez deux exemples qui utilisent des parenthèses, alors que l'énoncé ne les évoque pas.
J'ai un doute, car tel quel l'exercice me paraît un peu difficile (j'ai peut-être raté quelque chose), mais une simple application de calculs combinatoires ne suffit pas, par exemple chaque fois que dans un calcul vous avez 1 + 1, vous pouvez le remplacer par sqrt(8)/sqrt(2), ou par 3 - 1, ou par 4 - 2, ou par 5 - 3 (etc.) et trouver le même résultat, ce qui nécessite de faire la liste exhaustive de ces cas.

[Guimzo]

Bonjour,




Merci Media pour votre réponse.

Alors j'ai considéré que cela revenait ( pour la 1ère question ) à multiplier le nombre de possibilités que l'on a avec les nombres par le nombre de possibilités que l'on a avec les signes.

Et que pour chacun c'était une p-liste de n éléments.
Donc pour les nombres une 8-listes : 17^8

et pour les signes une 7-listes : 4^7

Donc ( 17^8 ) * ( 4^7 ) = 114 290 809 913 344

Pour contourner le probléme des parenthèses ne pourrait-on pas finalement calculer le nombre de possibilités de chaque groupe de 2 nombres et 1 signe possible ..?

Exemple :

( 1 + 3 ) est un couple possible
Le nombre de couples possible en prenant 2 nombres et 1 signe d'opération est :

( 17^2 ) * ( 4^1) = 1 156


Et après à partir de ce nombre 1 156 de couples possible formés de 2 nombres parmi 17 et d'1 signe d'opérations parmi 4 on chercherait
une 4-listes de 1 156 éléments qu'on multiplierait par le nombre de possibilités avec une 3-liste des signes...?


Donc : ( 1 156^4 ) * ( 4^3 ) = 114 290 809 913 344


On tombe donc exactement sur le même résultat...........!!!



Pour ce qui est des éléments strictement positifs ça cogite toujours.....

[Médiat]

Le problème c'est que votre calcul compte plusieurs fois la même chose (1+1 et 4-2 sont identiques, ou encore 1+2 et 2+1), et que vous ne comptez pas toutes, par exemple 1 + (2*3) != (1+2)*3, donc les parenthèses ne sont pas inutiles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Guimzo]

Le problème c'est que votre calcul compte plusieurs fois la même chose (1+1 et 4-2 sont identiques, ou encore 1+2 et 2+1), et que vous ne comptez pas toutes, par exemple 1 + (2*3) != (1+2)*3, donc les parenthèses ne sont pas inutiles.

Bonjour,

Pour les couples identiques du style ( 1+3 ) ou bien ( 2 +2 ) etc ce n'est pas grave ( après on pourra toujours calculer une liste moins redondante )

Pour contourner les parenthèses il suffit tout simplement de calculer le nombre d'éléments possibles composés de 2 nombres et d'1 signe d'opération et de travailler avec ce nombre de possibilités..!!

Donc ( 17^2 ) * ( 4^1) = 1 156

[Médiat]

Pour les couples identiques du style ( 1+3 ) ou bien ( 2 +2 ) etc ce n'est pas grave ( après on pourra toujours calculer une liste moins redondante )

J'ai peur que la tâche soit énorme

Pour contourner les parenthèses il suffit tout simplement de calculer le nombre d'éléments possibles composés de 2 nombres et d'1 signe d'opération et de travailler avec ce nombre de possibilités..!!

Donc ( 17^2 ) * ( 4^1) = 1 156

Mais non, puisque justement la position des parenthèses change les calculs ! Une des simplifications du problème serait de ne pas mettre de parenthèse, mais d'appliquer les priorités entre opérations.

D'où vient cet énoncé ?

[Guimzo]

Mais non, puisque justement la position des parenthèses change les calculs ! Une des simplifications du problème serait de ne pas mettre de parenthèse, mais d'appliquer les priorités entre opérations.
D'où vient cet énoncé ?

Bonjour,



Oui bien évidement la position des parenthèses changent les calculs.
Mais le probléme demandé n'est pas de Calculer le résultat de chaque élément mais de Dénombrer les possibilités.
Ainsi on pourrait travailler avec les groupes de 2 nombres et 1 signe ; il y à 1 156 groupes possibles.


Donc un groupe de 2 nombres et 1 signe est aussi composé de 2 parenthèses que l'on peut mettre ou retirer sans aucune importance en effet
( 2 + 1 ) c'est pareil que 2 + 1

Donc maintenant le probléme est de prendre à chaque fois 4 groupes composés de 2 nombres et 1 signe avec 3 signes.

( 1+1) est un groupe composé de 2 nombres et 1 signe

donc 4 groupes : (1+1) ; (2+7) ; (5+6) ; (7+5)

Ainsi désormais il ne nous faut que 3 signes d'opérations parmi les 4 possibles.
Donc nous revenons au probléme des parenthèses.
Pour contourner

Nous allons prendre 2 groupes 2 à 2 :

(1+1) ; (2+7) nous savons qu'il y à 1156 possibilités pour chacun de ses 2 groupes de nombres et 1 signe.

Donc là juste avec ces 2 groupes de 2 nombres et d'1 signe combien de possibilités il y à en ajoutant juste 1 signe entre ces 2 groupes...?


(1156 possibilités ) ; (1156 possibilités) ; et 1 signe parmi 4

[Guimzo]

Bonjour,




Donc finalement on voit qu'il y à 1156 * 1156 * 4 possibilités pour prendre les groupes 2 à 2 avec un groupe constitué de 2 nombres et 1 signe.

Donc 1156 * 1156 * 4 = 5345344


Donc maintenant il faut tout simplement coupler ces (5345344 possibilités) avec (5345344 autres possibilités) et 1 signe parmi 4.

Donc 5345344*5345344*4 = 114290809913344


On retombe là encore exactement sur le même résultat...!!
Donc le probléme de parenthèses ne semble pas si influent que ça.


Après si on veut calculer le résultat des opérations et non simplement le nombre de possibilités.

Il faudrait commencer par éliminer sur les 1 156 groupes de 2 nombres et d'1 signe possible ceux qui conduisent au même résultat.

[Médiat]

Vous n'avez toujours pas dit s'il fallait prendre en compte les parenthèses ou non, vous n'avez toujours pas éliminé les cas d'égalité simple (1+2 = 2+1) et encore moins les cas compliqués, de plus votre décomposition par paquet de 2 ne fonctionne pas :
1 + 2*3 + 5 ne peut pas s'obtenir en ne connaissant que 3 et 8 et avec une seule opération !

Je repose ma question : d'où vient cet énoncé ?

[Guimzo]

Vous n'avez toujours pas dit s'il fallait prendre en compte les parenthèses ou non, vous n'avez toujours pas éliminé les cas d'égalité simple (1+2 = 2+1) et encore moins les cas compliqués, de plus votre décomposition par paquet de 2 ne fonctionne pas :
1 + 2*3 + 5 ne peut pas s'obtenir en ne connaissant que 3 et 8 et avec une seule opération !
Je repose ma question : d'où vient cet énoncé ?

Bonjour,



1). Oui il faut prendre en compte les parenthèses et utiliser des groupes de 2 nombres et 1 signe d'opération comme base :

Pour mieux préciser l'énoncé chaque élément de Z doit être de la forme :


[ (1+2) (3+4) ] + [ (5+8) + (9+10) ]


Attention les signes " + " sont justes un exemple.
Donc 1 élément de Z est composé de 4 groupes de 2 nombres et 1 signe comme base.
Et après de 2 grands groupes pris 2 à 2.


Groupes de base ( 1 + 5 ) ou bien ( 7 - 2 ) ou bien ( 5 + 4 ) ou bien.......

Groupes pris 2 à 2 : [ (1+2) (3+4) ] ou bien [ (5+8) + (9+10) ]



QUESTION :
=========

Par exemple en prenant l'ensemble X constitué de 17 nombres et l'ensemble Y constitué des 4 signes d'opération de combien d'éléments est constitué l'ensemble Z1
sachant qu'un élément de Z1 est constitué de 2 nombres de X et 1 signe de Y entre ces 2 nombres......?



2). On parle bien de Nombre d'éléments donc laissons les cas d'égalité de côté car qu'il y ait plusieurs éléments qui conduisent au même résultat
l'important c'est le dénombrement de l'ensemble Z.

Si vous voulez remplacez les 17 nombres par 17 lettres de l'alphabet pour la 1ère question donc { a;b;c;d;e;f;g;h;i;j;k;l;m;o;p; q;r }

Que proposez-vous comme solution .......?



3). "d'où vient cet énoncé ?".......?

J'ai du mal à comprendre votre démarche.....que l'énoncé vienne du sud ou du nord en quoi cela nous aidera à la comprehension du probléme...?

Que proposez-vous comme solution au probléme...?

[Médiat]

1) donc vous changez l'énoncé, avec les places des parenthèses qui sont, en fait, pré-définies.
2) ben justement l'ensemble constitué de {1+2, 2+1} est un singleton à savoir {3}, ce qui ne serait pas le cas de {"1+2", "2+1"} où ce sont les chaines de caractères qui sont prises en compte, ce qui change encore l'énoncé.
3) si vous ne voulez pas répondre, personne ne vous y oblige.

J'ai passé assez de temps sur un problème dont l'énoncé apparaît au message # 10.

[Guimzo]

1) donc vous changez l'énoncé, avec les places des parenthèses qui sont, en fait, pré-définies.
2) ben justement l'ensemble constitué de {1+2, 2+1} est un singleton à savoir {3}, ce qui ne serait pas le cas de {"1+2", "2+1"} où ce sont les chaines de caractères qui sont prises en compte, ce qui change encore l'énoncé.
3) si vous ne voulez pas répondre, personne ne vous y oblige.
J'ai passé assez de temps sur un problème dont l'énoncé apparaît au message # 10.

Bonjour,


Tout d'abord je vous remercie pour vos réponses.
Faisons simple et reprenons tout :


ÉNONCÉ
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Soit un ensemble X' composé de 17 éléments tel que X' = {a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i ; j ; k ; l ; m ; n ; o ; p ; q }

Et Y un ensemble composé de 4 éléments tel que Y = { + ; - ; * ; / }



QUESTION :
=========

Combien il y à t-il d'éléments dans l'ensemble Z' sachant qu'un élément de Z' est composé par 2 éléments de X' et d'1 élément de Y.....??
( Il n'est pas interdit de répéter le même élément de X' par contre l'élément de Y ne peut être qu'au milieu des 2 éléments de X' )


Exemple :
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( a + b ) est un élément de Z' Mais ( +a b ) n'est pas un élément de Z'

( b + a ) est un élément de Z' différent de ( a + b )

( a + a ) est un élément de Z' Mais ( ab+ ) n'est pas un élément de Z'

[gg0]

Quelle réponse proposes-tu ?

(vu que c'est le troisième énoncé, on ne va pas perdre notre temps !!)

[Guimzo]

Bonjour,




Une personne saurait-elle expliquer s'il vous plait la différence entre Combinaison avec Répétition et P-liste....??
Merci.