Vecteur coplanaires

[Magnetika]

Bonsoir,

Je butte sur un exercice dont je connais la solution.

On cherche un vecteur de l'espace qui est en même temps coplanaire à s et t et coplanaire à u et v si :

s(1 ; -3 ; 2)

t(0 ; 8 ; -5)

u(35 ; 14 ; -10)

w(-2 ; -1 ; 0)

s, t u et w sont des vecteurs de l'espace.

La solution est : les vecteurs de la forme k(65 ; 29 ; -10). J'ai vérifié, c'est correct.

J'ai à peu près tout essayé, les procédures standards, je me retrouve chaque fois avec un système de plusieurs équations à plusieurs inconnues mais j'ai à chaque fois plus d'inconnues que d'équations et les systèmes sont assez lourds. Comment résoudre cet exercice ?

Merci d'avance
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[fiatlux]

J'ai vérifié, c'est correct.

Tu as vérifié ça comment?

C'est normal que tu te retrouves avec plus d'inconnues que d'équations (1 de plus en l'occurrence) puisqu'il y a une infinité de solution (d'où le facteur k dans la solution). Les solutions sont tous les vecteurs colinéaires au vecteurs (65; 29; -10).

Personnellement j'ai réfléchi comme ça (ça me fait 0 équation, je trouve directement le vecteur (65; 29; -10) ou un vecteur colinéaire à celui-ci) :
s et t sont dans le même plan, que vaut le vecteur normal à ce plan ? On nomme n ce vecteur normal et on le calcule
u et v sont dans le même plan, que vaut le vecteur normal à ce plan ? On nomme p ce vecteur normal et on le calcule.
Là tu peux faire un dessin si ça t'aide, avec 2 plan non-coplanaires qui se croisent, tu vois que leur intersection est une droite dont on cherche le vecteur directeur. Dessine n et p sur ton dessin. Qu'est-ce que tu remarques?

[Magnetika]

Salut,

Merci pour ta réponse. Ce que j'aimerais comprendre, c'est comment on parvient à trouver les valeurs (65;29;-10) en fait.

[Magnetika]

Re,

Pour la vérification , j'ai simplement posé 2 systèmes d'équations à 3 inconnues (ça fonctionne avec 65;29;-10)

Et concernant ce que tu proposes, la solution doit être trouvée sans passer par les vecteurs normaux (et quand bien même , je vois pas trop ou tu veux en venir ni comment tu trouves directement ces valeurs sans équation )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Magnetika]

Un petit up.

Si quelqu'un a une piste...

[Magnetika]

up , une petite aide svp

[gg0]

Bonjour.

Puisque la réponse de Fiatlux ne te convient pas (elle est pourtant la meilleure), je passe à quelque chose de plus long.
Tu cherches un vecteur qui s'écrit V=as+bt=cu+dv, où a, b, c et d sont des constantes.
En traduisant cette équation en termes de coordonnées, tu trouves un système de trois équations à 4 inconnues. Tu peux en choisir une, d=1, par exemple, puis résoudre. Tu obtiendras des valeurs de a et b que tu peux utiliser pour calculer les coordonnées de V, qui seront proportionnelles à 65,29 et -10 (il y a une infinité de solutions, des vecteurs colinéaires entre eux). On les obtient tous en changeant la valeur choisie pour d.

Cordialement.

NB : pour en trouver un (un seul) il n'y a pas besoin de calcul : le vecteur nul convient !

[Magnetika]

Bonjour,

Merci pour ta réponse. Tout d'abord ce n'est pas que la réponse de Fiatlux ne me convient pas, c'est simplement que je ne comprends pas comment il trouvent directement ces valeurs sans même poser une équation.

Quand à ce que tu proposes, j'étais parti un peu dans cette voie mais sans succès. Peut-être que l'astuce consistait à fixer arbitrairement une inconnue comme tu le proposes. Je vais essayer mais je t'avoue que c'est un peu obscur.

[gg0]

Pour la réponse de Fiatlux, c'est de la géométrie dans l'espace élémentaire. les deux vecteurs qu'il construit donnent une direction de plan orthogonale au vecteur cherché.
Pour ma méthode, l'idée est classique : avec n équations, on peut déterminer jusqu'à n variables. Si on en a plus, on choisit comme on veut les valeurs des variables "en trop".

Cordialement.

[Magnetika]

Tout d'abord merci car j'ai enfin fini par trouver les valeurs en question (en fixant une inconnue)

La solution de Fiatlux m'aurait intéressé mais je ne parviens hélas pas à saisir l'intérêt de ses 2 vecteurs orthogonaux.

[gg0]

Je te l'ai dit,

c'est de la géométrie dans l'espace élémentaire. Soit tu n'y connais rien (et tu vas avoir des soucis en géométrie analytique), soit tu n'as pas fait le dessin qu'il te proposait. Je t'ai proposé une piste, qui montre qu'ilte suffit de faire le produit vectoriel des deux vecteurs pour avoir le résultat.
Mais je ne peux pas penser à ta place ...

[Magnetika]

A défaut de dire que j'y connais rien, je n'ai pas encore étudié le produit vectoriel. Désolé pour la nuance.

Mais j'ai jeté un oeil et j'ai compris comment le calculer et surtout pourquoi ça fonctionne grâce au dessin. Par contre, c'était pas le but de cet exercice en l'occurrence.

Merci à toi.

[gg0]

Ok !

Donc je retire ma remarque (mais tu as appris quelque chose d'utile !).

Bonnes réflexions.