Dérivée d'un polynôme factorisé

[inviteafc1e92d]

Bonjour,

Voilà un petit problème sur le thème de la factorisation d'un polynôme associé à sa dérivée.

On dit qu'un polynôme est factorisable par s'il existe un polynôme tel que :
On admettra que pour tout polynôme et pour tout réel , il existe un polynôme tel que :
- 1) Montrer que
- 2) En déduire que est factorisable par si et seulement si

Soit
- 3) Montrer que se factorise par
______________________________ ________________________

- 1) On dérive les deux membres de :

Dans cette expression, remplaçons par la valeur :


- 2) De fait, il faut démontrer que :


Mais comme on a :

- b) Utilisant les données de l'énoncé et suivant le résultat de la 1ère question :

En appliquant à nouveau le th. admis de l'énoncé il vient :


Je pense que CQDF ?

- 3) Ce cas est une application de la question précédente :



On vient de démontrer que :


J'ai passé presque toute l'après midi sur ce pb
Merci bcp pour la vérification, logique et rédaction.
@+
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[inviteafc1e92d]

J'ai oublié la remarque : lorsque , la courbe représentive de est tangente à l'axe des abcisses en et on peut avoir un extremun de à cet endroit.

Encore merci.

[inviteb9469e86]

OK pour la première question
Je ne suis pas d'accord pour ta deuxième question, on voit mal ton hypothèse et tes équivalences.

P s'écrit de manière unique P(x) = P(a) + (x - a) Q(x)
Première étape
Supposons que P'a) = P'(a) = 0 alors comme P(a) = 0 on P(x) = (x - a) Q(x)
donc P'(x) = Q(x) + (x - a) Q'(x)
comme P'(a) = 0 alors Q(a) = 0
Q est un polynôme donc s'écrit de manière unique Q(x) = Q(a) + (x - a) Q'(x)
Q(a) = 0 donc Q(x) = (x - a) R(x)
donc en remplaçant P(x) = (x - a) ² R(x)

Deuxième étape
Réciproquement si pour tout x réel, P(x) = (x - a) ² R(x) alors P(a) = 0
P'(x) = 2 (x - a) R(x) + (x - a) ² R'(x) donc P'(a) = 0
donc on a l'équivalence :
P(x) = (x - a) ² R(x) si et seulement si P(x) = (x - a) ² R(x)

Pour la dernière question ce n'est qu'une application, ok pour ta réponse

[inviteafc1e92d]

Merci bcp pour ta correction.

@+

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