Géométrie dans l'espace :intersection plan et droites .

[invitedb88e0e3]

Bonjours ,précédemment j'avais expliqué que j'ai un travaux de vacances en math ,et donc je dois compléter le questionnaire avec de bonnes réponses.Comme je l'ai dis ,j'avais rendu mes cours à ma titulaire =>Car c'est le règlement pour éviter de perdre ses cours en cas de controlé par un inspecteurs .Mais comme un idiot j'avais aussi rendu mon cours de math.Mais vous cher forumeur vous m'avez beaucoup aider en me donnant des sites pour retrouver les notions de bases en math.
Mais mon problème aujourd'hui est en rapport avec la géomètrie dans l'espace ,les intersections de droite et de plan ....

Voici les 3 questions que je dois résoudre :
1)Recherchez les équations cartésienne et paramétrique de la droite perpendiculaire au plan d'équation x-y+2z+5=0 et passant par le point (1,2,4).


2)Recherchez l'équations cartésienne du plan alpha passant par les points (1,-1,2) ; (2,1,0) et (0,1,1).
Recherchez l'équations cartésienne du plan Beya passant par le point (-2,3,4) et parallèle au plan alpha.


3)Recherchez l'équations cartésienne de la droite qui est l'intersection des plans d'équations :
2x+3y+z=2 et 5x-2y+3z = 3



Voilà les 3 questions pourriez vous m'expliquer les étapes à réaliser pour résoudre ces 3 questions ,j'essayerais de les résoudres parce que là sèrieusement j'ai oublié la plupart mais je pense qu'en faisant un effort ca va venir .
Merci à vous
C'est vraiment très important sachant que ca valera la moiié de mon prochain examen de décembre ainsi qu'il y aura un test oral .
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[PlaneteF]

1)Recherchez les équations cartésienne et paramétrique de la droite perpendiculaire au plan d'équation x-y+2z+5=0 et passant par le point (1,2,4)

Tu détermines le vecteur normal au plan . Ce vecteur, que l'on peut appeler , est donc parallèle à la droite que l'on te demande.

Et donc tu écris tout simplement que : avec et un point quelconque de la droite, ... et tu obtiens ainsi l'équation paramétrique.

Pour l'équation cartésienne tu élimines entre ces 3 équations et tu obtiendras un système de 2 équations.

C'est vraiment très important sachant que ca valera la moiié de mon prochain examen de décembre ainsi qu'il y aura un test oral .

Ah bah, effectivement, si çà "valera" (sic) la moitié, ... yapu granchoz arajouté

[gg0]

Bonjour.

1) Tu es sûr de l'énoncé ? car une droite n'a pas "d'équation cartésienne"; tout au plus une infinité de systèmes d'équations cartésiennes (de plans : Deux plans non parallèles se coupent suivant une droite). Pour leds équations paramétriques, il te suffit d'écrire que où M est le point courant de la droite, A(1,2,4) et est un vecteur normal au plan (ses coordonnées sont écrites dans l'équation du plan).
2) Soit tu utilises un produit vectoriel pour avoir un vecteur normal au plan, puis tu trouves le quatrième coefficient en disant que le plan passe par A, soit, si tu ne connais pas, tu écris l'équation à priori, puis su résous le système (il restera une lettre, car il y a une infinité de solutions).
3) Je ne comprends pas !

Cordialement.

Rappel : le plan d'équation ax+by+cz+d=0 est normal (orthogonal) au vecteur de coordonnées (a,b,c) (en repère orthonormal).

[invitedb88e0e3]

Voilà désolé de mon retard ,j'ai du chercher pour finalemment trouver une réponse .

pour la question 1:
paramétrique :
x=1k +1
y=-1k +2
z=-2k+4

cartésienne :
x-1/1k y-2/-1k z-4/-2k

est-ce que c'est juste ?

pour la question numéro 2:
j'ai utilisé le produit vectoriel :
et e npassant par tous les détails et en trouvant le d ,j'ai trouvé que l'équation cartésienne est -4x -6y-8z+14 =0

mais après je ne sais pas comment trouvé l'autre équation cartésienne (la sous question).


pour la question numéro 3: Je ne comprends rien de rien .


Pouvez vous corrigé et m'aidé en cas de faute et surtout m'éclaircir sur la question 3 merci d'avance .

Bonne après -midi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Tu es sûr de l'énoncé ? car une droite n'a pas "d'équation cartésienne";

On dirait que tu ne lis pas les réponses. Vais-je te répondre ?

Allez, je fais un effort, simplement parce que tu ne sembles pas non plus lire ce que tu écris :

cartésienne :
x-1/1k y-2/-1k z-4/-2k

Donc commence par utiliser ton cerveau en pleine forme pour lire les énoncés, lire nos réponses, lire ton cours et comprendre tout ça. car à imiter bêtement je ne sais quoi, tu en arrives à ne même plus comprendre que tes écritures n'ont aucun sens.

Désolé !

[invitedb88e0e3]

Bon,
bonjours et merci de ta réponse .
Tout d'abord :
On dirait que tu ne lis pas les réponses. Vais-je te répondre ?

Si une droite à une équation cartésienne ,dsl de ne pas t'avoir répondu ,vois-tu j'ai eu des problèmes donc en revenant je n'ai pas pu te répondre et je m'en excuse .
revenons en à votre question ,oui une droite à une équation cartésienne . l'équation cartésienne d'une droite est sous la forme de : x- le point de la droite /par k fois le vecteurs directeur .
comme vu en haut ,je me rappelle très bien l'avoir vu au cours .Donc je ne crois pas avoir faux à ce point-ci ,je suis à 100% sur qu'elle s'écrit sous-cette forme .Mon examen de math remonte à 2 mois .

Sinon là ou je voudrais à voir ton avis c'est est-ce que l'équation paramétrique que j'ai trouvé est-juste ou non ?Merci de m'avoir répondu et désolé de ne pas t'avoir répondu.

[gg0]

Si une droite à une équation cartésienne

Non !!

Revois ton cours et apprends à faire la différence entre une équation et un système d'équations. Tu y apprendras en plus comment s'écrit un système d'équations cartésiennes d'une droite. Et tu n'écritras plus ce genre d'absurdité :

l'équation cartésienne d'une droite est sous la forme de : x- le point de la droite /par k fois le vecteurs directeur .

Tu ne décris même pas une équation. Au fait, sais-tu vraiment ce que veut dire le mot "équation" ? On dirait que non !

Donc comme tu ne veux pas repartir correctement, je te laisse dans tes illusions ....

[invitedb88e0e3]

Oui ,d'accord tu as tout juste ,ce sont des équations cartésiennes ?
Mais oublions un peu l'équation cartésienne ,je voudrais savoir si mes équations paramétriques de la droite sont juste ?
Merci d'avance ?

[invitedb88e0e3]

Je ne voudrais pas repartir dans des illusions .???

[PlaneteF]

pour la question 1:
paramétrique :
x=1k +1
y=-1k +2
z=-2k+4

Bonjour,

Il y a une erreur de signe, je te laisse la trouver ...

Ensuite, à partir de là, pour obtenir un système de 2 équations cartésiennes représentant la droite, tu procèdes comme je te l'avais indiqué : Tu isoles dans une des 3 équations que tu remplaces dans les 2 autres : Ainsi tu vas bien obtenir 2 équations cartésiennes, qui caractérisent ta droite comme étant l'intersection de 2 plans.

[invitedb88e0e3]

Bonjours merci d'avoir répondu ,pour la question numéro 1 j'ai rectifié et je trouve :
x=1k +1
y=-1k +2
z=2k+4

donc comme vous l'avez dit on isole k dans une équation : (j'ai choisi la 3 ème ) = z-4/2=k
et on le remplace dans les 2 autres :

x=1*z-4/2 +1
y=-1*z-4/2 +2

est-ce juste ou dois-je faire autrement ?

[PlaneteF]

Bonjours merci d'avoir répondu ,pour la question numéro 1 j'ai rectifié et je trouve :
x=1k +1
y=-1k +2
z=2k+4

donc comme vous l'avez dit on isole k dans une équation : (j'ai choisi la 3 ème ) = z-4/2=k
et on le remplace dans les 2 autres :

x=1*z-4/2 +1
y=-1*z-4/2 +2

est-ce juste ou dois-je faire autrement ?

OK pour la démarche, mais 2 remarques quand même :

1) Tu as choisi d'isoler dans la 3^e équation qui était la seule à te donner des fractions !! ... Personnellement j'aurais choisi la 1^ère ou la 2^e qui donnent une forme plus simple.

2) Généralement le système d'équations doit être donné sous la forme :

[invitedb88e0e3]

Merci donc si j'isole la 1ère équations cela me donne :
k=x-1
si je le remplace sa me donne
x = x
y=-x+3
z=2x+2

après je ne sais plus quoi faire ?

Et sinon la 2 ème question ma 1ère réponse est-ce juste ?
merci d'avance .

[PlaneteF]

x = x
y=-x+3
z=2x+2

après je ne sais plus quoi faire ?

Met le système d'équations sous la forme que je t'ai indiqué ! (çà prend 5 secondes grand maximum )

Et sinon la 2 ème question ma 1ère réponse est-ce juste ?
merci d'avance .

2 remarques :

1) Tu avais donné comme solution : -4x-6y-8z+14=0

Un conseil : D'une manière générale, prend bien l'habitude de donner tes résultats dans sa forme la plus simple. Ici tu peux simplifier par -2, ce qui donne : 2x+3y+4z-7=0

2) Pour savoir si ce résultat est juste, tu peux vérifier par toi même que les 3 points (1, -1, 2), (2, 1, 0) et (0, 1, 1) vérifient bien l'équation que tu donnes.

[invitedb88e0e3]

Salut ,
1)Je suis désolé de ne pas l'avoir mis sous cette forme mais c'est juste que je ne vois pas de a et ni de d alors comment le mettre sous la forme de ax+......
2)Merci,j'ai compris en remplacant les points je trouves que l'équation est juste ...,?
Maintenant comment trouver la 2 ème équation cartésienne :
Recherchez l'équations cartésienne du plan Beya passant par le point (-2,3,4) et parallèle au plan alpha.
comment faire ?Merci d'avance .?

[invitedb88e0e3]

Et aussi comment procéder pour la question 3 svp ?

[gg0]

Si la question est :
"3)Recherchez [le système d']équations cartésienne[s] de la droite qui est l'intersection des plans d'équations :
2x+3y+z=2 et 5x-2y+3z = 3"

tu n'as rien à faire : La réponse est dans la question.
A moins qu'il te soit imposé une forme particulière pour le système qui n'est pas celle traditionnellement utilisée.

[invitedb88e0e3]

Euh non la question est recherchez l'équation cartésienne de la droite . L'intersection de deux plan est bien une droite .Je vais essayez de trouvez comment faire et sinon pour la 2 comment trouver l'autre équation cartésienne .?
Merci

[gg0]

Mais pourtant tu t'es bien rendu compte qu'avec une seule équation (" l' " signifie qu'il n'y en a qu'une) on n'a pas de droite. Qu'il en faut 2 (deux signes =) pour définir une droite en cartésien ! Tu pourrais au moins réfléchir à ce qui t'est dit et à ce que tu as fait !
Il n'y a rien à faire, la réponse est donnée dans l'énoncé. Il n'y a qu'à écrire le système !

NB : Je ne sais pas d'où sortent ces exercices, mais l'auteur du sujet est vraiment peu sérieux !

[invitedb88e0e3]

Hmm bon ben d'accord ,je te fais confiance ,crois tu qu'il s'agit d'une question piège ?

NB: Oui ,mon professeur est très peu sérieux .

[PlaneteF]

NB : Je ne sais pas d'où sortent ces exercices, mais l'auteur du sujet est vraiment peu sérieux !

Salut gg0 !

C'est un point de vue ... mais tu peux aussi le voir autrement : Ce type de question permet de jauger si l'élève a bien compris le concept de représentation d'une droite et d'un plan dans l'espace, ceci au delà de tout calcul purement "mécanique". Et manifestement si notre ami ZeusbyAH se pose des questions alors que cela n'a pas lieu d'être, ... cela veut bien dire qu'il n'est pas totalement au clair sur le sujet

Et puis pour être totalement rigoureux, il y a quand même un petit truc à faire, c'est vérifier que les 2 plans proposés ne soient pas parallèles !

Cordialement

[PlaneteF]

(...) c'est vérifier que les 2 plans proposés ne soient pas parallèles !

... je rajoute : ou confondus

[gg0]

J'ai effectivement pensé à un cas volontairement évident, mais c'est la répétition de "l'équation cartésienne de la droite" dans l'énoncé qui me paraît très malsaine (*).
Sinon, l'énoncé dit qu'il y a une droite intersection des deux plans, donc je n'ai pas à vérifier que le prof sait ce qu'il dit ! Et comme ici il n'y a qu'à donner le système, la réponse est automatiquement adapté : Si les plans sont confondus, le système donne bien une équation de l'intersection, même idée si les plans sont parallèles distincts.

Cordialement.

(*) C'est probablement dit ainsi dans le cours, ZeusbyAH y est revenu après l'avoir regardé.

[invitedb88e0e3]

Salut,
Pour la 2
8-18-32+k=0
k=42 ?
donc mon équation de plan est -4x -6y-8z+42 =0 ou encore en divisant par 2 : -2x-3y-4z+21=0

Pour passer de x=k +1 ; y=-k +2 ; z=2k+4 à des équations cartesienes, il me suffit d'éliminer le paramètre?, donc par exemple k = x-1 = -y+2 = (z-4)/2

Donc voilà deux plans qui contiennent la droite x+y-3=0 et 2x-2=z-4 donc 2x-z+2=0

? Suis-je sur la bonne direction ?