Bonsoir,
Je sèche depuis quelques jours sur un exercice apparemment simple mais rien n'y fait.
Soit un triangle ABC.
On contruit le point F tel que AF = 3/2 AB + 1/2 AC (on parle en vecteurs)
La droite AF coupe BC en L
Montrer que AL = 1/2 AF ( vecteurs)
J'ai essayé quasiment toutes les combinaisons possibles sans succès. J'ai même tenté une approche purement géométriques mais même là je n'y parviens pas.
Serait-il possible d'avoir une piste ?
Merci d'avance
Salut,
as-tu essayé Chasles ?
Essaye ca dans la seule égalité que tu connais, avec L. (Il faut utiliser Chasles plus d'une fois...)
@+
Salut,
Merci pour ta réponse.
J'ai déjà essayé mais sans succès. Le problème c'est que je me retrouve toujours avec un vecteur (parmi d'autres) dont je ne sais pas quoi faire.
Montre ce que tu as fais pour qu'on puisse t'aider.
J'ai à peu près 3 pages A4 remplies devant moi....un exemple :
AL = AC + CL
AF = AL + LB + 1/2(AB + AC)
Là j'ai essayé des substitutions diverses mais je ne parviens pas à éliminer ce LB
OK. Donc tu as essayé sans essayer...
Que sais-tu ?
-Que AF = 3/2 AB + 1/2 AC. (Et Chasles aussi)
Que veux-tu ?
-Montrer que AL = 1/2 AF.
Comme il n'y a qu'une chose que tu connais tu dois partir de là.
Fais apparaitre L dans 3/2 AB + 1/2 AC et essaye de simplifier.
Bon je tente de faire apparaître L dans 3/2 AB + 1/2 AC
3/2 AB + 1/2 AC = 3/2 (AL + LB) + 1/2 (AL + LC)
Le début est correct ?
Met le AF =... quand meme juste pour pas l'oublier en route.
Mais sinon oui, et fais un peu plus de calcul(s) avant de posterar exple, developper...
Si je développe :
AF = (3AL + 3LB)/2 + (AC + LC)/2
2AF = 3AL + 3LB + AC + LC
Je vois dans mes essais que j'avais déjà trouvé cette égalité mais je ne sais pas quoi en faire car je ne vois pas d'autres simplifications possibles.
On va laisser comme ca :
AF = (3AL + 3LB)/2 + (AC + LC)/2
AF = 3/2 AL + 3/2 LB + 1/2 AL + 1/2 LC
AF = 2 AL + 3/2 LB + 1/2 LC.
A partir de la vois-tu pourquoi c'est fini ?
Eh bien il faut montrer que 3/2 LB + 1/2 LC = 0
3LB + LC = 0
Désolé mais je ne vois pas ce qui permet d'affirmer cela.
A nouveau, il faut utiliser Chasles.
Essaye les possibilités, si tu ne vois pas direct quel(s) point(s) utiliser.
Indice : pas besoin de A.
Désolé si c'est pas clair mais je vois pas comment faire sans donner la reponse.
Rien à faire je ne vois pas...et en + sans utiliser A ça laisse vraiment peu de possibilités. Aurais-tu éventuellement un autre petit indice ?
Heu... il faut utiliser B ET C...
Et se souvenir que vect(MN) = - vect(NM)
Merci je vais essayer de chercher, je repasserai dans l'aprem pour te dire ce qu'il en est.
Une petite chose :
A partir de : AF = 2AL + 3/2 LB + 1/2 LC
On peut dire que 2AL finira sur la droite AF car A,L et F sont alignés. Or comme 3/2LB et 1/2LC sont 2 vecteurs alignés, 2AL ne peut que finir sur le point F pour ça fonctionne (c'est vraiment pas beau en passant...)
J'aimerais y arriver par calcul mais sans faire intervenir le point A (et donc F) je vois vraiment pas ce que je peux faire....à part écrire que BL + LC = BC...
Hé bah ! Avec ca et les autres termes... on peut faire... quoi ?Envoyé par Magnetika
Sinon ce que tu dis avant c'est "l'intuition" au brouillon donc par definitoin c'est pas beau... Ensuite faut le formaliser.
Je viens de trouver une solution....
AF = 2 AL + 3 LB + LC
AF = 2 AL + 3(LA + AB) + LA + AC
2 AL = 3 AB + AC - AF
2 AL = 2 AF - AF
2 AL = AF
Par contre j'ai utilisé le point A...je serais curieux de connaitre ta solution !
Je veux bien te la donner mais la tienne est bien mieux !
AF = 3/2 AB + 1/2 AC
=2AL + 3/2 LB + 1/2 LC
=2AL - 3/2 CL + 1/2 LB + 3/2 CB + 1/2 CB
=2AL.
Mais encore une fois je prefere la tienne.
allez hop, une troisième pour le fun.
un peu moins de chasles et les propriétés des parrallélogrammes.
BF=BA +AF= BA+(3/2)AB+(1/2)AC
BF=(1/2)(AB+AC)
soit le 1er parallélogramme ABEC donc BF=AI avec I milieu des diagonales AE et BC.
mais aussi un autre parallélogramme ABFI. ( car BF=AI )
dont les deux diagonales sont
AF et BI
L est à l'intersection des deux donc
BL=1/2 de BI et
AL=1/2 de AF
L-étudiant : ta solution a l'air sympa mais je ne la comprends hélas pas, je comprends pas comment tout disparaît. En tous les cas, merci pour ton aide car sans elle j'y serais encore !
ansset : merci pour cette autre solution, de la jolie géométrie !
Du coup je viens d'en trouver une 4ème par Thalès
Avec Chasles, on regroupe CL et LB et ca se simplifie.
oui mais ton dernier terme tu as mis 1/2 CB , moi je dirais plutôt que 1/2 BC car :
1/2 LC = 1/2 LB + 1/2 BC
Oui, j'ai fais une faute de frappe.
ben oui , aussi !Du coup je viens d'en trouver une 4ème par Thalès
il n'y a pas qu'une manière d'arriver au but en math !
cordialement !
