demontrer que les deux racines d'un trinomes sont de signes opposés.

[invite326fcf4b]

Bonsoir,
J'ai un exercice de mathématiques à faire et j'ai déjà tout trouvé. CEpendant, la dernière question me gene un peu... Pourrez-vous m'aider?
Voici l'intitulé:
"On a un trinome tel que a appartient à R/(0) et b appartient à R
(E)=ax2+bx-a
J'ai calculé les racines éventuelles a l'aide de la forme canonique et j'obtiens:
(E)=a(x+(b/2a))^2- (b^2-4a^2)/4a^2
On résout (E)=0 on simplifie en mettant a en facteur: (x+(b/2a))^2-(b^2-4a^2)/4a=0
On trouve les deux solutions: x1=(b-racine de (b^2-4a^2))/2a ou x2=-(b+racine de (b^2-4a^2))/2a
on trouve la condition: b> 2a ou b>-2a
C'est la que je coince... La dernière question est : Demontrer que les deux racines de (E) sont de signes contraires.
Faut-il dire que cela se démontre lors de la résolution de l'equation (E)=0, ou faut-il le calculer poiur toutes les conditions et valeurs de a et de b comme:
si a >0 , et b>-2a, on a b stricetment négatif donc x1>0 et x2<0 si b>2a(racine de 2) ect...?
Merci beaucoup...
sciences123
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[gg0]

Bonjour.

Si tu connais la méthode générale de résolution (discriminant), regarde combien vaut le produit des deux racines d'un trinôme du second degré (qui en a). le calcul est facile et donne un résultat particulièrement simple, qui te donnera la clef de ta question. Si tu n'as jamais vu ça (tu es en seconde ou début de première), il ne te reste qu'à faire le produit de ces deux racines (b-racine de (b^2-4a^2))/2a et-(b+racine de (b^2-4a^2))/2a dont une est d'ailleurs fausse !
D'autres erreurs :
"on trouve la condition: b> 2a ou b>-2a" Non ! tu n'as pas vraiment regardé à quelle condition on peut factoriser. D'ailleurs b=0 vérifie une des deux inégalités mais dans ce cas, il n'y a pas de racine.
"si a >0 , et b>-2a, on a b strictement négatif " ??? a>-2a mais a n'est pas strictement négatif.

Il va falloir faire bien plus attention avant d'affirmer !

Cordialement.

Attention :

[invite326fcf4b]

Bonsoir,
Je suis désolée mais je ne vois pas très bien en quoi calculer le produit des deux racines peut servir à démontrer que ces deux racines sont de signes opposés...
Pourriez-vous m'expliquer?
Cependant, je ne vois pas non plus en quoi l'une des deux racines est fausse... J'ai appliqué la "règle" des carrés lors de la résolution de l'équation (E)=0 avec "x= ou x=- "
Pourriez- vous m'aider s'il vous plait?
Par avance, merci
sciences123

[gg0]

1) Comment est le produit de deux nombres de signes opposés ? De même signe ?
2) Si tu finis la factorisation de ton trinôme sous la forme a(x-x1)(x-x2) (dans le cas où b²-4a² est positif) tu verras laquelle des deux (que tu as écrites dans ton premier message) est fausse
D'ailleurs, je n'avais pas vérifié ! ce n'est même pas b²-4a². Reprends tes calculs ! J'aurais d'ailleurs dû le voir puisqu'on est dans un cas où il y a toujours deux racines de signe contraire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pallas]

lorsqu'il y des solutions ( delta >=0) tu sais que les solutions sont ( -b+rac(delta))/2a et ( -b-rac(delta))/2a avec delta=b²-4ac pour une équation ax²+bx+c=0 ( a non nul)
Maintenant fais la somme de ces deux solutions tu trouves ..... une expression simple en fonction de a et b
et fais le produit des deux solutions tu trouves ..... une expression simple en fonction de a et c
saches aussi que si deux nombres sont de même signe leur produit est ...
saches aussi que si deux nombres sont de signe contraire leur produit est ...

[invite326fcf4b]

Oui! bien sur merci! On pose x1x2= c/a avec c=-a donc x1x2= -1 ensuite, on démontre que le produit de deux racines de signes opposés donne forcément un résultat négatif. Donc les deux racines sont bien de signes contraires.
Au fait, je me suis trompée lorsque j'ai noté les deux racines: on a bien x1= (-b+(racine de b^2-4^a2)/2a.
Merci beaucoup pour vos réponses, ca m'a été d'une grande aide!
Cordialement.
sciences123

[gg0]

Attention !

Tu t'es aussi trompé de signe pour le discriminant. Je te l'avais écrit en rouge !!!

[pallas]

Revois la valeur de delta(= b²-4ac) et non ce que tu as indiqué par deux fois !!