Limite d'une suite

[invited37b1371]

Bonsoir, j'ai un exercice portant sur les suites qui me pose problème.
Je dois trouver la limite de cette suite mais je ne sais pas comment m'y prendre :

Un = (5n + (-1)^n) / (2n + (-1)^n)

J'ai essayé de faire par comparaison mais je n'arrive à rien.
Aujourd'hui nous avons vu en cours le théorème de la convergence monotone mais je n'ai absolument rien compris donc je ne sais même pas si il faut utiliser ce théorème.

Je ne suis pas contre un peu d'aide sur la manière de procéder, merci d'avance ^^
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[invite03f2c9c5]

Intuitivement, au numérateur, qu’est-ce qui est le plus « grand » quand tend vers ? Et au dénominateur ? Après avoir répondu à ces questions, on peut mettre en facteur ce qui est le plus grand au numérateur, faire de même au dénominateur, simplifier, et on est tout près de la solution (il restera à déterminer la limite de ).

[invited37b1371]

Je ne vois pas comment on peut simplifier en fait. J'arrive à 5n(1+((-1)^n/5n)) / 2n(1+((-1)^n/2n). Après je bloque

[inviteedb8e997]

Si t'écris un comme ça :
un = 5/(2+((-1)^n)/n)) + 1/(2n/(-1)^n)
J'ai juste séparé et simplifié le 5n et le (-1)^n. Ensuite tu peux utiliser la limite de ((-1)^n)/n que tu peux trouver( (-1)^n tend vers...) et pareil avec (2n/((-1)^n)). A mon avis tu peux faire ça, mais comme j'ai pas l'étude de la fonction (le reste de l'exo si c'est un gros exercice de synthèse ), je peux pas te dire si t'arrives à un truc cohérent. Bref tu devrais pouvoir trouver qqch avec ça.
En espérant t'avoir été utile !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited37b1371]

Je ne comprends pas comment tu as fait pour obtenir : un = 5/(2+((-1)^n)/n)) + 1/(2n/(-1)^n)
Et en fait c'est juste une suite que la prof a donné comme ça avec pour seule info de déterminer la limite ( il y en avait 3 en tout mais les deux autres ne m'ont pas posé de probleme)

[inviteedb8e997]

ben je sais pas mais il me semble que (a+b)/c=a/c+b/c.
Donc t'as d'un côté 5n/(2n+((-1)^n)) le a/c puis ((-1)^n)/(2n+(-1)^n) le b/c. (j'ai peut-être oublié un 1 au dénominateur c'est possible)
Ensuite j'ai simplifié par n sur le a/c et par (-1)^n sur le b/c.
Je te laisse écrire le résultat, de là tu devrais trouver !!

[invited37b1371]

En partant de ce que tu as dit, je me retrouve avec :

Un = ( 5n + (-1)^n ) / ( 2n + (-1)^n )

= ( 5n / (2n + (-1)^n) ) + ( (-1)^n / (2n + (-1)^n) )

En simplifiant j'obtiens :

= ( 5 / (2 + (-1)^n) ) + ( 1 / 2n )

Ca semble juste ou je me suis trompée quelque part ?

[inviteedb8e997]

A priori il devrait te rester un 1 dans ton b/c :
bon je pose x=((-1)^n) (plus facile à écrire )
du coup ton b/c donne x/(2n+x) si j'ai bien recopié. Donc en factorisant et en simplifiant t'obtiens :

1/((2n/x)+1) donc au dénominateur il te reste un 1qui va pas te servir à grand chose quand tu vas passer à la limite, mais bon... ton terme (2n/((-1)^n)) doit avoir une limite que tu sais calculer à ce stade du cours sur les limites, si mes souvenirs de terminale sont bons.
C'est bon, t'as tout compris ?

[invited37b1371]

Merci beaucoup ! Oui je pense enfin avoir compris ce qu'il fallait faire ! Encore merci à vous deux

[NicoEnac]

Bonjour,

Sinon tu peux considérer les deux sous-suites U_2n et U_2n+1, et montrer qu'elles convergent vers la même limite.

[invite03f2c9c5]

ton terme (2n/((-1)^n)) doit avoir une limite

Non, ceci n’a pas de limite ! Et tous ces calculs compliqués ne mènent à rien. Je reviens à ma proposition ; un élève de terminale doit savoir simplifier une expression de la forme ! Alors pourquoi chercher plus compliqué ?

La méthode est pourtant standard pour lever une indétermination de ce genre : repérer ce qui « l’emporte », le mettre en facteur, simplifier… L‘avantage d’utiliser une méthode standard plutôt que partir dans des calculs au hasard est que la méthode pourra resservir pour d’autres limites…

[invite03f2c9c5]

En partant de ce que tu as dit, je me retrouve avec :

Un = ( 5n + (-1)^n ) / ( 2n + (-1)^n )

= ( 5n / (2n + (-1)^n) ) + ( (-1)^n / (2n + (-1)^n) )

En simplifiant j'obtiens :

= ( 5 / (2 + (-1)^n) ) + ( 1 / 2n )

Ca semble juste ou je me suis trompée quelque part ?

Désolé mais c’est n’importe quoi ! Est que ? Si oui, bravo, tu as démontré que , et donc (en remultipliant numérateur et dénominateur par ), que !

Avant de chercher à calculer des limites de quotients, il peut être bon de retravailler les règles de calcul élémentaires sur les fractions, censées être acquises depuis longtemps quand on aborde les limites…

[inviteedb8e997]

(-1) à la puissance ce que tu veux (n) vaut +1 si n est pair et -1 si n est impair... mais le signe peut être négligé car avec 2n qui tend vers + infini, tu auras (2n/((-1)^n)) qui tend vers un infini (plus ou moins, ça dépend de n). Mais comme il est au dénominateur, le signe de cet infini n'aura aucune importance, puisque la fraction 5/((2n/((-1)^n))+1) va tendre vers 0 !!
De même, si tu as ((-1)^n)/n tu arriveras facilement à une limite égale à 0... à mon avis, on arrive à un résultat correct. Peut-être qu'il y a une autre méthode peut-être même plus rapide, mais celle-ci est la première qui m'est venue à l'esprit et je pense que ça marche quand même !
Cordialement,

[NicoEnac]

Re,

tu peux considérer les deux sous-suites U_2n et U_2n+1, et montrer qu'elles convergent vers la même limite.

Alors je me permets de reposter ma suggestion qui fonctionne en 3 lignes...

[invite03f2c9c5]

(-1) à la puissance ce que tu veux (n) vaut +1 si n est pair et -1 si n est impair... mais le signe peut être négligé car avec 2n qui tend vers + infini, tu auras (2n/((-1)^n)) qui tend vers un infini (plus ou moins, ça dépend de n).

Ça ne veut absolument rien dire… « Le signe peut être négligé »… d’après quel théorème ? C’est un forum de mathématiques ici ! On ne peut pas juste « faire des choses » parce que ça nous arrange, tout doit être justifié et démontré. En l’occurrence, ici, la suite de terme général est divergente, elle ne tend vers rien du tout. Une limite ne dépend pas de !

Si l’on veut exploiter cette idée intuitive mais en écrivant les choses rigoureusement, on peut comme le suggère NicoEnac utiliser des suites extraites, mais cette notion n’est pas au programme au lycée (il est tout de même assez intuitif que si , et sont convergentes et de même limite, converge aussi vers cette limite commune, et on pourrait envisager de demander à un élève de terminale de le démontrer ; pas sûr que ce soit plus simple que la méthode que j’ai indiquée, qui prend deux lignes pour qui sait simplifier correctement une fraction).

[NicoEnac]

mais cette notion n’est pas au programme au lycée

En effet, je n'y avais pas pensé.

pas sûr que ce soit plus simple que la méthode que j’ai indiquée, qui prend deux lignes pour qui sait simplifier correctement une fraction).

Oui, ta méthode est simple et rapide.