Dérivé de tangente puissance n?

[Aryo]

Bonjour,

Je me replonge un peu dans les dérivés. Je suis sur une dérivée d'une fraction de deux fonctions trigonométrique. J'utilise donc la formule de la dérivé d'une fraction.

Seulement dans le numérateur j'ai une fonction du type 4tan^3(x) - 3x^2. J'ai mis le 4 en facteur de la fraction, mais je voudrais savoir comment traiter le tan^3(x) en utilisant la dérivée de tan(x) qui est 1/cos^2(x)?

Désolé si la question est trop simple, j'ai un peu oublié tout cela.

Merci à vous.

edit : une dernière chose, est-ce correct d'écrire que la dérivée de cos(5x-x^3) = -sin(5x-x^3) (ou ne touche pas à ce qui est dans la parenthèse?)
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[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) mais je voudrais savoir comment traiter le tan^3(x) en utilisant la dérivée de tan(x) qui est 1/cos^2(x)?

Tu utilises la formule de la dérivation de la composée de 2 fonctions :

avec ici et

edit : une dernière chose, est-ce correct d'écrire que la dérivée de cos(5x-x^3) = -sin(5x-x^3) (ou ne touche pas à ce qui est dans la parenthèse?)

Non c'est faux --> Cf. remarque précédente

[Aryo]

Ah ok! Super, merci beaucoup!

Donc dès lors qu'on ajoute une quelconque opération à la variable x (3x, 5x, x^2...) dans les fonctions trigonométriques, on utilise la formule de la composée de deux fonctions pour dériver?

[PlaneteF]

Ah ok! Super, merci beaucoup!

Donc dès lors qu'on ajoute une quelconque opération à la variable x (3x, 5x, x^2...) dans les fonctions trigonométriques, on utilise la formule de la composée de deux fonctions pour dériver?

Oui, à chaque fois que l'on doit dériver une composée de 2 fonctions ... donc dans le cas que tu décris et aussi dans des milliards d'autres cas, trigo ou pas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aryo]

Lol oui bien sur. Ce que je voulais dire c'est que dans tan(x) x est une variable donc sa dérivée est connue en appliquant la formule. Mais x devient une fonction dès lors qu'il est multiplié, divisé' mis au carré...donc x tout seul est une variable, x^2 est une fonction. J'éspère que je me fais comprendre :-/

[PlaneteF]

(...) donc x tout seul est une variable (...)

Cela peut être vu aussi comme la fonction identité !

[Aryo]

D'accord effectivement.

Sinon, tu as posé f(x)= x^3 et g(x) = tan(x). Tu aurais tout aussi bien pu poser f(x)=tan(x) et g(x)=x^3?

[PlaneteF]

D'accord effectivement.

Sinon, tu as posé f(x)= x^3 et g(x) = tan(x). Tu aurais tout aussi bien pu poser f(x)=tan(x) et g(x)=x^3?

Attention surtout pas , car ne vaut absolument pas la même chose dans les 2 cas :

Dans ton 1^er cas :

Dans ton 2^e cas:


Ce qui donne bien 2 fonctions totalement différentes !

[Aryo]

D'accord! Moi je pensais que tan^3(x) = tan(x^3), je confond peut-être avec tan^3(x)=tan(x)^3

En fait voici l'expression à intégrer :

Donc la formule à utiliser va être :

Donc je vais dériver le numérateur, puis le dénominateur et appliquer la formule.

On a une addition de fonction au numérateur, donc je vais d’abord dériver chacune des deux fonctions et

En utilisant comme tu me l'as proposé la composée de fonction pour dériver .



Je pose donc :




Ce qui donne :



Bon comme j'ai un cos et un tan, je vais remplacer le pour n'avoir que des tangentes.



En développant ça ne me donne rien de probant, donc je laisse sous cette forme.

Avant que j'aille plus loin, je voudrais juste savoir si jusque la je tiens la bonne direction?

[PlaneteF]

D'accord! Moi je pensais que tan^3(x) = tan(x^3), je confond peut-être avec tan^3(x)=tan(x)^3

Si tu préfères :

et ... pas vraiment les mêmes fonctions

Non, cette formule est fausse ... Tu la sors d'où ... Ce n'est pas celle que je t'ai donné ! ... Du coup ton début de calcul est faux.

[Aryo]

Tu utilises la formule de la dérivation de la composée de 2 fonctions :

En fait peux tu me dire stp comment se lit cette expression avec un exemple concret (tout simple) ? En fait j'aurais du te poser la question dès le départ :shame:

Merci encore car je vois que tu es l'un de deux qui participe le plus, ça ne dois pas être simple

[PlaneteF]

En fait peux tu me dire stp comment se lit cette expression avec un exemple concret (tout simple) ? En fait j'aurais du te poser la question dès le départ :shame:

Merci encore car je vois que tu es l'un de deux qui participe le plus, ça ne dois pas être simple

Deux exemples au pif :

[pallas]

tu dois savoir que la dérivée de u^n est nu'u^(n-1)
donc derivée de tan^3(x) est 3 ( tanx)'fois tan²(x) soit (3(1+tan²x)(tan²x)

[Aryo]

Bonjour,

Désolé comme je suis un peu oqp en ce moment je ne peux pas répondre plus rapidement.

Donc ok j'avance donc en me servant de vos remarques.

Au numérateur on a donc la dérivé de qui est je remplace par

ce qui donne donc



d'où la dérivée du numérateur qui est



Même procédé au dénominateur





Donc :



Est ce que jusqu'à présent ça va? Peut-être qu'il y'a des simplifications quelque part non?

Merci à vous.