salut cher matheux!
pouvez vous m'aider a résoudre un exercice de démonstration par absurde
Voila l'énoncé :
a,b et c trois nombres qui appartiennent a l'ensemble Z
on considère le polynôme suivant : P(x)=ax²+bx+c
-Démontrer que si a,c et P(1) sont des nombres impairs alors P(x)=0 n'admet pas de solutions dans l'ensmble Q
Merci d'avance!!
Il faut commencer par dire "supposons qu'une telle solution soit dans Q, et notons la p/q, avec p et q premiers entre eux"
Ensuite tu écris que a(p/q)²+b(p/q)+c = 0
Et tu va ensuite chercher à montrer que le seul cas ou c'est possible, c'est celui ou à la fois p et q sont pairs (or comme ils sont premiers entre eux, c'est absurde)
Au passage, le fait que a, c et P(1) soient impair donne une information sur la parité de b
On peut voir assez facilement que pour que la solution soit rationnelle, il faut que b² - 4 a c soit un carré parfait, sinon on ne se débarrassera jamais du radical dans la formule donnant les racines.
b² - 4 a c = D² où D est entier
On voit que b est impair (voir remarque de Tryss) donc D aussi.
Question : que devient cette équation si on regarde modulo 8 ? A quoi peuvent être congrus b² et D² ?
