SUITES TERM S - Methode de Héron.

[invite5d65a99c]

Bonjour à tous. J'ai un exercice à résoudre, je bloque totalement... Le prof nous a indiqué qu'il se résolvait à l'aide de la "méthode de Héron". Voici l'énoncé :

On considère la suite (un) définie par : u0 = l (l > ou égal à racine de2 ) Un+1= 1/2(Un+2/Un), pour tout n appartient à N.

1a.Montrer que pour tout entier naturel non nul n, Un> ou égal à racine de 2.
1b. Montrer que la suite (Un) set décroissante.
1c. Déduire de ce qui précède que la suite (Un) converge, et déterminer sa limite.

2a. Montrer que pour tout entier naturel n / Un+1- racine de 2 < ou égal à 1/(2*racine de 2)* (Un-racine de 2)²< ou égal à 1/2(Un-racine de 2)²
2b. Montrer par récurrence que pour tout entier n> ou égal à 1: Un-racine de2<ou égal (1/2)^2n-1 (Uo-racinede2)^2n
2c. On choisit l=2. Pour quelle valeur de n est on sur que Un et une valeur approchée de racine de 2 à 10^-9


Merci d'avance ...
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[gg0]

Bonjour.

Conformémenyt au réglement du forum et au message , tu ne vas pas te contenter de mettre ton énoncé, mais tu vas déjà nous dire ce que tu as fait et où tu bloques.

Cordialement.

[invite5d65a99c]

Je bloque à la 1ere question ! :/

[Samuel9-14]

A première vue, je chercherais le sens de variation en utilisant la récurrence (je t'avouerais que je suis pas méga sûr de moi, quelqu'un pourra sans doute te confirmer et/ou t'infirmer).
Tu calcules quelques termes pour conjecturer.
Et en partant de U_n < U_n+1 (car logiquement elle devrait être croissante...), tu devrais arriver à U_n+1 < U_n+2

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Une preuve par récurrence semble en effet possible. tu peux remarquer que
avec
Comme f est croissante et que , on arrive vite au résultat.

Bon travail !

Pour Samuel9-14 : La suite est décroissante !

[invite5d65a99c]

Merci bien, je vais essayer. Je repasserai sur le forum pour vous dire ou j'en suis !

[Samuel9-14]

Une preuve par récurrence semble en effet possible. tu peux remarquer que
avec
Comme f est croissante et que , on arrive vite au résultat.

Bon travail !

Pour Samuel9-14 : La suite est décroissante !

Merci de la précision, et désolé de la gêne, j'avoue que je n'avais pas eu le courage ni de calculer quelques termes, ni de prendre le temps de regarder attentivement l'expression ^^

[gg0]

C'était dit dans l'énoncé à la question 2

[invite5d65a99c]

je n'arrive pas la question 2b, sur la récurrence =-\

[jamo]

Bonjour
as tu vérifié si P(0) est vraie ?

[invite5d65a99c]

Je ne sais pas comment faire =-/

[jamo]

autant pour moi , c'est P(1) et non P(0) car n>=1
Un-racinede2<= (1/2)^2n-1 (Uo-racinede2)^2n
il suffit de remplacer n par 1 dans l'expression ci dessus et vérifier si l'inégalité est vraie.

[invite5d65a99c]

Oui mais je ne connais pas Uo !

[gg0]

Si, tu connais : U0 = l.

[invite5d65a99c]

Je reflechie à propos de l'hérédité.