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Récurrence term S



  1. #1
    I-dream_M

    Post Récurrence term S


    ------

    Bonjours, pour lundi j'ai un devoir maison, et je bloque sur les deux derniers exercices ou il faut démontrer par récurrence, Quelqu'un pourrait il m'aider ?

    Premier exercice :
    On dé définit, pour tout entier naturel n, la suite (Un) par :
    U 0 = 1/7 U n+1 = 3/4Un +1/2
    Démontrer par récurence que 0<Un<2



    Deuxième exercice :
    On considère la suite (Un) définie pour tout n de N par :
    U0 = 3 et U n+1 = (4Un - 2) / (Un + 1)

    1) Soit f la fonction définie sur [1; +l'infinie[ par f(x) = (4x-2) / (x+1)
    a) Etudier la variation de f sur [1; +l'infinie[
    b) En déduire que, pour tout x de [1; +l'infinie[ , f(x) > 1
    2) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un > 1
    3) Démontrer par récurrence que la suite (Un) est décroissante

    Aide : Un+1 = f(Un)

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Devoir maison de Mathématiques term S

    Bonjour.

    Conformément aux règles du forum (lis http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html), tu vas nous dire ce que tu as fait sur ces exercices et à quel endroit tu bloques.
    Bien évidemment, tu as révisé dans tes cours la méthode de preuve par récurrence (*) pour savoir comment commencer.

    Cordialement.

    (*) l'idée de base étant que si une propriété qui dépend d'un entier n est vraie pour n=n0 et que le fait qu'elle soit vraie pour un entier implique qu'elle est vraie pour l'entier suivant, alors elle est vraie pour tout entier supérieur ou égal à n0.

  4. #3
    I-dream_M

    Re : Devoir maison de Mathématiques term S

    Pour le premier exercice :
    J'ai écrit:
    Soit (Un) définie par
    U0 = 1/7
    U n+1 = 3/4Un + 1/2
    Montrons que 0<Un<2

    Initialisation :
    U0 = 1/7
    on a alors 0<1/7<2
    La propriété est vraie pour U0

    Hérédité :
    Hypothèse : Supposons que "0<Un<2" , est vraie.
    u 1 = (3/4) x (1/7) + (1/2)
    u 1 = 17/28
    donc 0 < u1 < 2
    mais je n'arrive pas a conclure avec U n+1



    POur le deuxieme exercice je ne comprends pas comment débuté

    Merci

  5. #4
    gg0

    Re : Récurrence term S

    Ok.

    Mais traiter le cas de U1 n'a rien à voir avec ce que tu dois faire. Tu as pris l'hypothèse que "0<Un<2". Il te faut démontrer que "0<Un+1<2". Rien à voir avec u1 (sauf pour n=0). Donc commence !
    Tu dois démontrer en fait deux choses : 0<Un+1 et Un+1<2. La première est extrêmement facile, non ? Et pour la deuxième, de petites manipulations d'inégalités du niveau troisième seconde devraient suffire.

    Bon travail !

  6. #5
    jamo

    Re : Devoir maison de Mathématiques term S

    Citation Envoyé par I-dream_M Voir le message

    Hypothèse : Supposons que "0<Un<2" , est vraie.
    si tu fais l’hypothèse que 0<Un<2 , qu'est ce que tu peux dire de 3/4Un ? suivant ce que tu trouves il faudra rajouter 1/2 , ce petit calcul n'est autre qu'un encadrement de Un+1 .

  7. A voir en vidéo sur Futura

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