Récurrence term S

[invite2337b04e]

Bonjours, pour lundi j'ai un devoir maison, et je bloque sur les deux derniers exercices ou il faut démontrer par récurrence, Quelqu'un pourrait il m'aider ?

Premier exercice :
On dé définit, pour tout entier naturel n, la suite (U_n) par :
U ₀ = 1/7 U _n+1 = 3/4U_n +1/2
Démontrer par récurence que 0<U_n<2



Deuxième exercice :
On considère la suite (U_n) définie pour tout n de N par :
U₀ = 3 et U _n+1 = (4U_n - 2) / (U_n + 1)

1) Soit f la fonction définie sur [1; +l'infinie[ par f(x) = (4x-2) / (x+1)
a) Etudier la variation de f sur [1; +l'infinie[
b) En déduire que, pour tout x de [1; +l'infinie[ , f(x) > 1
2) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, U_n > 1
3) Démontrer par récurrence que la suite (U_n) est décroissante

Aide : U_n+1 = f(U_n)
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[gg0]

Bonjour.

Conformément aux règles du forum (lis http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html), tu vas nous dire ce que tu as fait sur ces exercices et à quel endroit tu bloques.
Bien évidemment, tu as révisé dans tes cours la méthode de preuve par récurrence (*) pour savoir comment commencer.

Cordialement.

(*) l'idée de base étant que si une propriété qui dépend d'un entier n est vraie pour n=n₀ et que le fait qu'elle soit vraie pour un entier implique qu'elle est vraie pour l'entier suivant, alors elle est vraie pour tout entier supérieur ou égal à n₀.

[invite2337b04e]

Pour le premier exercice :
J'ai écrit:
Soit (Un) définie par
U0 = 1/7
U n+1 = 3/4Un + 1/2
Montrons que 0<Un<2

Initialisation :
U0 = 1/7
on a alors 0<1/7<2
La propriété est vraie pour U0

Hérédité :
Hypothèse : Supposons que "0<Un<2" , est vraie.
u 1 = (3/4) x (1/7) + (1/2)
u 1 = 17/28
donc 0 < u1 < 2
mais je n'arrive pas a conclure avec U n+1



POur le deuxieme exercice je ne comprends pas comment débuté

Merci

[gg0]

Ok.

Mais traiter le cas de U₁ n'a rien à voir avec ce que tu dois faire. Tu as pris l'hypothèse que "0<U_n<2". Il te faut démontrer que "0<U_n+1<2". Rien à voir avec u₁ (sauf pour n=0). Donc commence !
Tu dois démontrer en fait deux choses : 0<U_n+1 et U_n+1<2. La première est extrêmement facile, non ? Et pour la deuxième, de petites manipulations d'inégalités du niveau troisième seconde devraient suffire.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d4af10e]

Hypothèse : Supposons que "0<Un<2" , est vraie.

si tu fais l’hypothèse que 0<Un<2 , qu'est ce que tu peux dire de 3/4Un ? suivant ce que tu trouves il faudra rajouter 1/2 , ce petit calcul n'est autre qu'un encadrement de Un+1 .