DM Term S - Récurrence

[invite31e5aaa0]

Bonjour,

J'ai un DM à faire et je ne vois pas la solution.

u_n = 1/1² + 1/2² + 1/3² + ..... + 1/n²

1) Démontrer que la suite est croissante
Je l'ai fait en faisant u_n+1 - u_n = 1/(n+1)²
1/(n+1)² > 0 donc u_n+1 - u_n > 0 donc la suite est croissante.

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel et n =>0
u_n <= 2 - 1/n

C'est vrai pour n=1 (1/1²=2-1/1)

Mais après je bloque pour passer au rang n+1.

Est-ce-que quelqu'un peut m'aider svp ?
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[invite8d4af10e]

Bonjour
tu supposes P(n) vraie et tu démontres P(n+1) cad :
Un<=2-1/n
et tu démontres que Un+1<2-1/n+1

[invite31e5aaa0]

Oui, j'ai essayé, mais je n'y arrive pas.
Je dis que U_n+1=U_n + 1/(n+1)²
Et après je pars de U_n <= 2 - 1/n équivaut à U_n + 1/(n+1)² <= 2 - 1/n + 1/(n+1)²
ensuite je mets au même dénominateur dans le membre de droite :
2 - 1/n + 1/(n+1)² = 2 + [-(n+1)²-n]/[n*(n+1)²] = 2 + (-n² - 3n - 1) / n(n+1)²
et là je suis coincée. Je ne sais pas si c'est la bonne méthode ni si j'ai fait une erreur.
Voilà où j'en suis, et je suis à court d'idée.
Merci d'avance pour votre aide.

[invite8d4af10e]

si tu utilises le fait que pour n>=2 :
1/n²<1/n*(n-1) ou
1/n²<1/(n-1) - 1/(n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31e5aaa0]

Il ne s'agit pas de 1/ (n+1) mais de 1/ (n+1)² du coup quand je développe je me retrouve avec des x².

[invite8d4af10e]

Un + 1/(n+1)² <= 2 - 1/n + 1/(n+1)² et 1/(n+1)²<(1/n)-(1/(n+1))
edit ; j'ai compris ta remarque

[invite31e5aaa0]

C'est encore au brouillon mais je pense avoir tout compris.
Merci beaucoup pour la rapidité de vos réponses et pour votre aide, elle m'a été très précieuse.