DM Term S - Récurrence
Bonjour,
J'ai un DM à faire et je ne vois pas la solution.
un = 1/1² + 1/2² + 1/3² + ..... + 1/n²
1) Démontrer que la suite est croissante
Je l'ai fait en faisant un+1 - un = 1/(n+1)²
1/(n+1)² > 0 donc un+1 - un > 0 donc la suite est croissante.
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel et n =>0
un <= 2 - 1/n
C'est vrai pour n=1 (1/1²=2-1/1)
Mais après je bloque pour passer au rang n+1.
Est-ce-que quelqu'un peut m'aider svp ?
Bonjour
tu supposes P(n) vraie et tu démontres P(n+1) cad :
Un<=2-1/n
et tu démontres que Un+1<2-1/n+1
Oui, j'ai essayé, mais je n'y arrive pas.
Je dis que Un+1=Un + 1/(n+1)²
Et après je pars de Un <= 2 - 1/n équivaut à Un + 1/(n+1)² <= 2 - 1/n + 1/(n+1)²
ensuite je mets au même dénominateur dans le membre de droite :
2 - 1/n + 1/(n+1)² = 2 + [-(n+1)²-n]/[n*(n+1)²] = 2 + (-n² - 3n - 1) / n(n+1)²
et là je suis coincée. Je ne sais pas si c'est la bonne méthode ni si j'ai fait une erreur.
Voilà où j'en suis, et je suis à court d'idée.
Merci d'avance pour votre aide.
si tu utilises le fait que pour n>=2 :
1/n²<1/n*(n-1) ou
1/n²<1/(n-1) - 1/(n)
Il ne s'agit pas de 1/ (n+1) mais de 1/ (n+1)² du coup quand je développe je me retrouve avec des x².
Un + 1/(n+1)² <= 2 - 1/n + 1/(n+1)² et 1/(n+1)²<(1/n)-(1/(n+1))
edit ; j'ai compris ta remarque
Re : DM Term S - Récurrence
C'est encore au brouillon mais je pense avoir tout compris.
Merci beaucoup pour la rapidité de vos réponses et pour votre aide, elle m'a été très précieuse.
