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Alignement de 3 points dans un triangle



  1. #1
    mumps

    Alignement de 3 points dans un triangle

    Bonjour, Actuellement, nous travaillons sur les vecteurs et la géométrie plane.
    On connaît la propriété des vecteurs colinéaire : x’y=xy’ ou vecteur (u)=k vecteur (v)
    On peut également déterminer l’équation cartésienne d’une droite sous la forme ax+by+c=0
    De plus, on sait que le vecteur (u) a pour coordonnées (-b ;a)

    Mon énoncé est:

    ABC est un triangle et O un point intérieur à ce triangle.
    La droite (OA) coupe la droite (BC) en D,
    (OB) coupe (AC) en E,
    Et (OC) coupe (AB) en F.
    La parallèle à (CF) passant par D coupe (AB) en I. Enfin, M est le symétrique de D par rapport à I.

    l'image au lien suivant http://imageshack.us/photo/my-images...rianglelw.png/

    questions:
    On cherche à démontrer que les points E, F et M sont alignés.

    On se place dans le repère (A ; [AB] ; [AC]) ([u] signifie vecteur u)
    On note (a ;b) les coordonnées du point O.

    a) O est un point intérieur au triangle ABC.
    Comment se traduit cette propriété avec a et b ?

    b) Exprimer, en fonction de a et b, les coordonnées des points D, E, F.
    c) Poursuivre les calculs de coordonnées et terminer la démonstration.


    Mes pistes:
    a)
    Comme le repère est (A; [AB];[AC]) AB = 1 et AC = 1 donc comme O se trouve à l'intérieur du triangle avec O (a;b) alors a et b sont compris entre 0 et 1.
    Mais si a=1 et b=1, ce n'est plus dans le triangle...

    b) j'ai utilisé la formule de colinéarité en remplaçant les coordonnées en D(x;y) puis donc ça me donne a(y-b)-b(x-a)=0 --> ay-bx=0

    Sauf que cela ne sert à rien...
    j'ai utilisé la même formule de colinéarité pour les points E(0;y) et F(x;0)
    Pour E, par rapport à [OB](1-a;b) et [EO](a;-b-y) j'ai (1-a)(b-y)=-ab donc b-y+ay=0
    Pour F, par rapport à [CO](a:b-1) et [OF](-a;x-b) j'ai a(y-b)=-a(b-1) donc ay+a=0

    Est-ce la bonne voie?

    c) : si j'ai les coordonnées des 3 points E, F et M(l'inverse de D) Je dois juste montrer qu'ils ont les même coefficient de colinéarité.

    Voilà, un peu d'aide SVP, je me reconnecte vers 22h30. Merci d'avance

    -----

    Images attachées Images attachées

  2. #2
    gg0

    Re : Alignement de 3 points dans un triangle

    Bonsoir.

    Pour trouver les coordonnées de D, il ne suffit pas de dire que D est sur AO; il faut aussi noter qu'il est sur BC. Ce qui te donnera un système de deux équations à deux inconnues x et y (a et b sont des constantes, des paramètres; x et y se calculent en fonction de a et b)
    On obtient directement ay-bx=0 en considérant les vecteurs AO et AD.

    Pour la question c, d'accord, sauf que les relations de colinéarité concernent des vecteurs, pas des points.

    Je reviens sur la première question : On peut prouver que a+b<1 mais je ne sais pas si tu as vraiment cela à prouver.

    Cordialement.

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