Exercice difficile avec plan et rotation

boisdevincennes · 25/10/2012, 10h50

Bijour,
Voici un exercice que je n'arrive pas à faire.
Mon niveau: faible

Dans le plan P muni d'un repère orthonormée (O i j) on considère pour tout
point M(x,y) appartenant à P par:

x'=-1/2*x+((racine3)/2)*y

y'=-((racine3)/2)*x-(1/2)*y

ou M'(x' y') est l'image de M(x,y) par T
1)Démontrer que T admet un unique point invariant I
2)Démontrer que tout M du plan vérifie: IM=IT(M)
3)Démontrer que T est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle
4)Déterminer l'image par T de la droite delta d'équation y=(racine3)x

j'ai fait le 1

1)les points invariants par M' sont les solutions de l'équation x=x' et y=y'
=>
x=-1/2*x+((racine3)/2)*y
y=-((racine3)/2)*x-1/2*y
=>
x=(1/racine3)*y
y=(-1/racine3)*x
=>
y=(racine3)*x
y=(-1/racine3)*x
=>
y²=-x²
y=0
x=0
T admet un unique point invariant I=0

**PlaneteF** · 25/10/2012, 12h16

Bonjour,

Envoyé par boisdevincennes

2)Démontrer que tout M du plan vérifie: IM=IT(M)

Tu viens de trouver que $\text{[math]}$ . Donc tu dois démontrer que $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$

Envoyé par boisdevincennes

3)Démontrer que T est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle

On sait que pour une rotation de centre $\text{[math]}$ et d'angle $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Donc la transformation $\text{[math]}$ est bien de cette forme et tu peux ainsi trouver $\text{[math]}$ facilement.

Envoyé par boisdevincennes

4)Déterminer l'image par T de la droite delta d'équation y=(racine3)x

Se trouve en utilisant le résultat précédent.

boisdevincennes · 25/10/2012, 13h05

merci pour la réponse rapide mais j'ai du mal:
OM²=x²+y²? pourquoi? que représente OM?
J'ai ensuite effectivement trouvé que x²+y²=x'²+y'²
pour l'angle je trouve cos @+sin @=-1/2+Racine3/2? j'ai divisé par x et par y? mais je ne sais pas trouver @.
pour le 4 je verrai ensuite, je ne sais pas faire

**PlaneteF** · 25/10/2012, 14h01

Envoyé par boisdevincennes

OM²=x²+y²? pourquoi? que représente OM?

$\text{[math]}$ --> C'est tout simplement la distance entre le point $\text{[math]}$ et le point $\text{[math]}$ .

... et la formule à connaître est : $\text{[math]}$

Envoyé par boisdevincennes

pour l'angle je trouve cos @+sin @=-1/2+Racine3/2? j'ai divisé par x et par y? mais je ne sais pas trouver @.

Par identification, on a : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Maintenant, regarde un cercle trigonométrique. Quel angle sur ce cercle a pour cosinus et sinus les 2 valeurs indiquées ci-dessus ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

boisdevincennes · 26/10/2012, 01h49

pour @ j'ai trouvé 2pi/3
pour l'image je prends la 2eme égalité y'=-((racine3)/2)*x-(1/2)*y et je modifie:
y'=-((racine3)/2)*x-(1/2)*(racine3)*x
y'=-racine3*x
=>l'image par T de la droite d'équation delta est y=-racine3*x?

**PlaneteF** · 26/10/2012, 10h28

Envoyé par boisdevincennes

pour @ j'ai trouvé 2pi/3

Oui, c'est bon.

Envoyé par boisdevincennes

y'=-racine3*x
=>l'image par T de la droite d'équation delta est y=-racine3*x?

Non ta déduction est fausse, tu transformes indûment le $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ ! ... En fait, l'équation de l'image de la droite donnée, sera sous la forme d'une expression de $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .

Donc concrètement tu remplaces $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ dans la 1^ère équation, comme tu l'as fait pour la 2^e, puis tu élimines $\text{[math]}$ entre les 2 équations pour avoir $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .

**PlaneteF** · 26/10/2012, 11h02

Envoyé par PlaneteF

On sait que pour une rotation de centre $\text{[math]}$ et d'angle $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Oups, ... je viens de m'apercevoir que je t'avais donné les équations pour une rotation horaire

... aux temps pour moi !

Je rectifie donc --> Pour une rotation anti-horaire (c'est-à-dire la "classique") les équations sont :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Du coup on obtient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ... ce qui donne une autre valeur pour $\text{[math]}$ !

boisdevincennes · 27/10/2012, 07h10

alors voila ce que je trouve:
y'=-((racine3)/2)*x-(1/2)*(racine3)*x
y'=-racine3*x
en remplaçant y dans x':
x'=-1/2*x+(racine3)/2*(racine3)x=x
y'=-racine3*x'

boisdevincennes · 27/10/2012, 10h30

et pour les angles sur le cercle trigonométrique il y a 2 valeurs pour ça:
-2pi/3 et 4 pi/3.

**PlaneteF** · 27/10/2012, 12h04

Envoyé par boisdevincennes

alors voila ce que je trouve:
y'=-((racine3)/2)*x-(1/2)*(racine3)*x
y'=-racine3*x
en remplaçant y dans x':
x'=-1/2*x+(racine3)/2*(racine3)x=x
y'=-racine3*x'

Envoyé par boisdevincennes

et pour les angles sur le cercle trigonométrique il y a 2 valeurs pour ça:
-2pi/3 et 4 pi/3.

Plusieurs remarques :

1) Tu avais effectivement trouvé cette équation de droite lors de ton 1^er essai mais avec un raisonnement qui était faux. Tu étais retombé sur tes pieds uniquement parce qu'ici on a la particularité que $\text{[math]}$ , ... mais sinon le résultat aurait été différent.

2) Une fois que tu as fait tes calculs et que tu as obtenu $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ , tu donnes le résultat de l'équation de l'image en l'exprimant avec $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ , et donc la réponse peut être formulée ainsi :

L'image de la droite d'équation $\text{[math]}$ par la transformation $\text{[math]}$ est la droite d'équation $\text{[math]}$

3) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont un seul et même angle modulo $\text{[math]}$ .

4) On peut obtenir le résultat avec très peu de calcul, par un raisonnement géométrique :

La droite d'équation $\text{[math]}$ est une droite passant par $\text{[math]}$ et dont l'angle $\text{[math]}$ avec l'axe $\text{[math]}$ est tel que $\text{[math]}$ = coefficient directeur de la droite = $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ .

Maintenant, géométriquement, si l'on opère une rotation de centre $\text{[math]}$ et d'angle $\text{[math]}$ sur cette droite, on obtient alors une droite passant par $\text{[math]}$ dont l'angle avec l'axe $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ , ce qui donne une droite de coefficient directeur = $\text{[math]}$ ... et donc on retrouve bien le résultat précédent

boisdevincennes · 27/10/2012, 12h15

2) comment fais tu pour passer de y'=-racine3 x à y=racine3x je n'ai pas compris l'étape? je demande ça car dans un autre
exercice j'ai des y' et x' dans une equation cartesienne et je n'arrive pas a avoir une équation avec y et x et donc la symetrie ne marche pas.
4) je devine que tan a est coefficient directeur de la droite est du cours? mais si @=pi/3 pourquoi operes tu une rotation de -2pi/3?

boisdevincennes · 27/10/2012, 12h19

bon tan est pi périodique je crois comprendre.

**gg0** · 27/10/2012, 15h08

L'ensemble des points M(x',y') tels que y'=-racine3*x' est tout simplement l'ensemble des points M(x,y) tels que y=-racine3*x. Simple renommage des coordonnées.

**PlaneteF** · 27/10/2012, 15h52

Envoyé par boisdevincennes

4) je devine que tan a est coefficient directeur de la droite est du cours?

Cours ou pas cours, ce résultat est très facile à démontrer :

Soit une droite d'équation $\text{[math]}$ . Soient 2 points distincts $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ appartenant à cette droite, avec $\text{[math]}$ "au dessus" de $\text{[math]}$ . Appelons $\text{[math]}$ la projection orthogonale de $\text{[math]}$ sur l'axe $\text{[math]}$ .

Par définition : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

boisdevincennes · 27/10/2012, 16h05

est ce que vous avez des liens pour voir ça en image? je devine que la notation tan x'Ox,AB renvoie à la tangente de cette angle. Mais il faut quand même avouer que sans cours ce sont des choses difficiles à inventer.

**L-etudiant** · 27/10/2012, 16h17

Envoyé par boisdevincennes

Mais il faut quand même avouer que sans cours ce sont des choses difficiles à inventer.

Voila des sites avec des cours !

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee.htm

http://www.licence.math.upmc.fr/UE/

Y'a de tout, de tout les niveaux.

@+

**PlaneteF** · 27/10/2012, 16h24

Envoyé par boisdevincennes

est ce que vous avez des liens pour voir ça en image? je devine que la notation tan x'Ox,AB renvoie à la tangente de cette angle. Mais il faut quand même avouer que sans cours ce sont des choses difficiles à inventer.

Tu peux taper par exemple "coefficient directeur" dans un moteur de recherche, tu trouveras des liens intéressants ...

boisdevincennes · 18/11/2012, 03h23

Je reviens sur cet exercice et sur ce qu'a dit le spécialiste planeteF: on vérifié IM=ITM en disant x'²+y'²=x²+y². ok et après? est ce suffisant pour prouver IM=ITM? c'est un constat ce qu'on a fait apres tout. Bon je comprends le calcul mais pour réellement comprendre ce que ça représente c'est pas simple. Par ailleurs je voulais savoir si on peut dire que x'=x et y'=y (ce qui prouverait peut etre quelquechose? a priori non si x'=y et x=y' mais bon comme j'ai du mal à comprendre ce que l'on cherche à prouver je m'en remets aux experts pouvant m'apporter des réponses précises. Merci d'avance.

boisdevincennes · 18/11/2012, 09h29

je crois que je me prends la tete pour rien et que j'ai répondu moi même à la question. on a fait le constat que IM=ITM et on peut préciser que x'=x et y'=-y avec la dernière question.

boisdevincennes · 18/11/2012, 09h33

je voudrais une derniere précision: j'ai trouvé ceci sur la rotation: http://homeomath.imingo.net/rotation.htm
que représente les 2 vecteurs avec la barre dessus à la 4eme ligne? c'est l'angle du vecteur OM OM'?

**L-etudiant** · 18/11/2012, 16h05

Envoyé par boisdevincennes

je voudrais une derniere précision: j'ai trouvé ceci sur la rotation: http://homeomath.imingo.net/rotation.htm
que représente les 2 vecteurs avec la barre dessus à la 4eme ligne? c'est l'angle du vecteur OM OM'?

Salut,

oui c'est bien un angle (meme si mal fait).

boisdevincennes · 18/11/2012, 16h44

ça devrait une double barre inclinée comme le MOM' dessous non?

**L-etudiant** · 18/11/2012, 16h47

Oui mais le logiciel de traitement de texte n'est suremenent pas LaTeX !

boisdevincennes · 18/11/2012, 16h58

savez vous si pour les autres transformations il y a aussi des formules difficiles à connaître comme celles qu'a donné le spécialiste PlaneteF (ça ne s'invente pas):
x'=x cos a-y sin a

**PlaneteF** · 18/11/2012, 20h42

Envoyé par boisdevincennes

savez vous si pour les autres transformations il y a aussi des formules difficiles à connaître comme celles qu'a donné le spécialiste PlaneteF (ça ne s'invente pas):
x'=x cos a-y sin a

Tu peux retrouver très facilement ces formules sur la rotation en utilisant les nombres complexes :

Soient $\text{[math]}$ un point d'affixe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un point d'affixe $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ soit le transformé de $\text{[math]}$ par la rotation de centre $\text{[math]}$ et d'angle $\text{[math]}$ .

On a alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$

En développant le 2^nd membre puis en identifiant membre à membre on retrouve bien les formules données dans le message#7.

boisdevincennes · 18/11/2012, 20h53

le terme affixe m'échappe, tout comme les lettres e et i et les nombres complexes. désolé mais ce post est du chinois pour moi. Je vais m'en tenir la.

**PlaneteF** · 18/11/2012, 21h06

Envoyé par boisdevincennes

le terme affixe m'échappe, tout comme les lettres e et i et les nombres complexes. désolé mais ce post est du chinois pour moi. Je vais m'en tenir la.

Bah si tu ne connais pas les nombres complexes, on peut déterminer ces formules à l'aide de la trigonométrie ... Connais-tu la trigonométrie ?

boisdevincennes · 18/11/2012, 21h13

Oui, mais ma question n'etait pas la. Je voulais savoir si en fait on peut avoir besoin de formules similaires dans d'autres cas que la rotation et si oui ou sont ces formules. Sur homeomath je n'en ai pas trouvé d'autres.

**PlaneteF** · 18/11/2012, 21h19

Envoyé par boisdevincennes

Oui, mais ma question n'etait pas la. Je voulais savoir si en fait on peut avoir besoin de formules similaires dans d'autres cas que la rotation et si oui ou sont ces formules. Sur homeomath je n'en ai pas trouvé d'autres.

Try this:

http://mathematique.coursgratuits.net/geometrie-euclidienne/transformations.php

boisdevincennes · 18/11/2012, 21h22

je vous remercie je vais aller voir cela.

Exercice difficile avec plan et rotation

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