exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

[boisdevincennes]

MERCI D'AVANCE DE VOTRE AIDE

Voila 2 exercices que je veux faire mais je n'y parviens pas.
premier exercice
Soit
fm(x)=Exp(m/12 x ln(1+x/100)) avec mE N* et xE [0 100]
je trouve que la fonction réciproque est fm-1(x)=100x^(12/m)-100
et f'm(x)=(m/(1200+12x))*Exp(m/12 x ln(1+x/100))

on sait aussi que fm(10)>1.05 pour m>7 et que lim f'm-1(1,05) qd m tend vers +infini=1

-on demande de déterminer l'équation de la tangente Tm au point de la courbe
Cm de fm d'ordonnée 1,05 (je sais faire avec les abscisses mais pas avec les ordonnées.)

Faut il se servir de fm-1(x)?

Deuxieme exercice
PROBA:
Voila j'ai fait le début mais sans etre sur. il y a peut etre un lien avec l'exercice précédent car
c'est la meme fonction.

Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 selon la loi
uniforme.Exp(1/12 x ln(1+T/100))
1 Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie par
X=Exp(1/12 x ln(1+T/100))
Calculer espérance et variance de X
2 Soit X1 et X2 2 var aléatoires indépendantes de même loi que X
Exprimer X1X2 puis déterminer l'espérance et la variance de X1X2.

1 Loi de la variable aléatoire?
je pense que c'est
P(T=1)=P(X=1)=Exp(1/12 x ln(1+1/100))
P(T=2)=P(X=2)=Exp(1/12 x ln(1+2/100))
...jusqu'a 10
Esperance: somme de I à N xi pi (c'est tres vilain a écrire)
variance: on verra apres.

2)je ne comprends pas la question.
-----

[PlaneteF]

fm(x)=Exp(m/12 x ln(1+x/100))

Bonjour,

Il faut interpréter le caractère que j'ai mis en rouge dans la citation comme "la lettre x" ou bien comme "le signe de multiplication" ?

[boisdevincennes]

c'est un signe multiplié et la aussi
Exp(1/12 * ln(1+T/100))

[boisdevincennes]

je précise que pour le premier exercice j'ai fait toutes les questions, donc ce n'est pas par manque de recherches que j'ai posté. j'ai cherché sur internet comment trouvé une tangente par l'axe des ordonnées sans succes. pareil pour la loi uniforme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[boisdevincennes]

correction: il faut lire lim m+infini fm-1(1,05) tend vers 1 et non pas f'm-1.

[PlaneteF]

Faut il se servir de fm-1(x)?

Oui effectivement, mais pour être rigoureux, il faut remarquer au préalable que la fonction étant continue et strictement monotone (en l'occurrence strictement croissante) sur , alors d'après le théorème de la bijection, est une bijection de cet intervalle vers son image par , c'est à dire .

Donc il faut vérifier que appartient bien à dans tous les cas, ce qui te permettra de dire que existe et est unique dans .


Tu peux aussi jusifier cela en partant de la fonction que tu avais calculé.

[boisdevincennes]

oui j'ai oublié de dire qu'au début de l'exercice j'avais déjà prouvé que fm etait bijective.

[PlaneteF]

oui j'ai oublié de dire qu'au début de l'exercice j'avais déjà prouvé que fm etait bijective.

OK, ... mais il faut quand même s'assurer que ou bien que

[boisdevincennes]

oui. Mais vous me dites pas comment la trouver ensuite! parce que je ne vois toujours pas. ça me parait bizarre votre calcul car en plus je vois que 1,05 est bon juste pour m=1. e1/2ln2<0.5 et apres pareil

[boisdevincennes]

je voulais dire e(2/12)ln2<1.05. je n'ai pas trouvé la fonction editer.

[PlaneteF]

Mais vous me dites pas comment la trouver ensuite!

Euuuh, c'est quoi "la" ?

[boisdevincennes]

la tangente Tm de fm d'ordonnée 1.05

[PlaneteF]

je voulais dire e(2/12)ln2<1.05. je n'ai pas trouvé la fonction editer.

Non, tu te trompes dans ton calcul, ... On a , ce qui est bien

Ensuite il faut le vérifier/justifier

[boisdevincennes]

ok c'est moi je commence à fatiguer. je suis depuis 6h la dessus.

[boisdevincennes]

e(m/12)ln2>1,05
ln e(m/12)ln2>ln1,05
m/12 ln2>ln1,05
m/12>ln2/ln1,05
m>12ln2/ln1,05
m>=1

[PlaneteF]

m/12 ln2>ln1,05
m/12>ln2/ln1,05

Le passage entre ces 2 lignes est faux.

m>12ln2/ln1,05
m>=1

Le passage à la 2^e ligne comme conséquence de la 1^ère est faux.

[boisdevincennes]

oui j'ai fait le bon calcul mais ecrit un truc faux:
m/12 ln2>ln1,05
m>12.ln1,05/ln2
m>=1 puisque m E N*

[boisdevincennes]

j'ai avancé un peu:
on cherche la tangente d'ordonnée 1,05 de fm
on cherche l'abscisse qui correspond:
f(x)=1,05
<=>
x=f-1(1,05)
x=100x1,05^(12/m)-100
nous cherchons donc la tangente en ce point.
les calculs deviennent trop difficile ensuite donc j'ai pas continué
EST CE LA BONNE METHODE?

[boisdevincennes]

qqn pourrait me dire si je suis bien partie pour le deuxieme exercice?
ou au moins me dire la méthode à utiliser. parce que remplacer les valeurs de T
dans X ça me parait trop bete et pour le calcul de l'espérance et de la variance
ça donne des trucs incalculables.

Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 selon la loi
uniforme.
1 Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie par
X=Exp(1/12 x ln(1+T/100))
Calculer espérance et variance de X
2 Soit X1 et X2 2 var aléatoires indépendantes de même loi que X
Exprimer X1X2 puis déterminer l'espérance et la variance de X1X2.

[PlaneteF]

j'ai avancé un peu:
on cherche la tangente d'ordonnée 1,05 de fm
on cherche l'abscisse qui correspond:
f(x)=1,05
<=>
x=f-1(1,05)
x=100x1,05^(12/m)-100
nous cherchons donc la tangente en ce point.
les calculs deviennent trop difficile ensuite donc j'ai pas continué
EST CE LA BONNE METHODE?

Si l'on appelle l'abscisse du point d'ordonnée , on a donc pour équation de la tangente en ce point :

Tu viens de donner toi-même la valeur de et l'expression de , ... il te reste donc à calculer , ce qui ne pose pas de problème particulier ...

[boisdevincennes]

ok: on a Ty=(m/(1200+12*Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100)))) * (X-(100x1,05^(12/m)-100)) + Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100))

ce qui correspond a Ty=f'(a)(x-a)+f(a)
je vois pas l'interet dans un exercice de donner une telle merde, excusez du peu.

Bon la derniere question de l'exercice dont je n'avais pas parlé je m'y suis penché dessus sans trouver:
Déterminer l'ensemble des mE N* tel que la pente de la tangente Tm>1

[PlaneteF]

ok: on a Ty=(m/(1200+12*Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100)))) * (X-(100x1,05^(12/m)-100)) + Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100))

ce qui correspond a Ty=f'(a)(x-a)+f(a)
je vois pas l'interet dans un exercice de donner une telle merde, excusez du peu.

Ouh là là , ... mais c'est beaucoup plus simple que cela

Déjà pourquoi vas-tu d'embarquer à calculer de manière "frontale" alors que par définition ... tu l'avais écrit toi-même !!! (pour le "fun" tu peux développer ton calcul pour constater que tu retombes bien sur ).

Ensuite, le reste se simplifie énormément.


Il y a même une autre façon de faire qui aboutit à la solution de manière plus directe :

On remarque d'abord que : ... et maintenant la ruse consiste à utiliser la formule :

Quelle que soit la méthode, tu retomberas sur le même résultat !

[boisdevincennes]

je suis d'accord pour fm(x0) j'avais pas vu. par contre avec vos formules, je vois mal comment simplifier.

[boisdevincennes]

comment connaissez vous autant de formules? il faut etre un dieu pour en savoir autant.

[PlaneteF]

Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100))))

Comme exemple de simplification immédiate, l'expression en citation vaut :

 Cliquez pour afficher

... çà simplifie carrément

je suis d'accord pour fm(x0) j'avais pas vu. par contre avec vos formules, je vois mal comment simplifier.

Puisque alors et donc

[boisdevincennes]

je vais étudier tout ça je vous tiens au courant. si vous pouvez me dire si dans l'exercice sur les proba je suis sur la bonne voie ça m'arrangerait.
j'avais dit:

"parce que remplacer les valeurs de T
dans X ça me parait trop bete et pour le calcul de l'espérance et de la variance
ça donne des trucs incalculables.

Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 selon la loi
uniforme.
1 Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie par
X=Exp(1/12 x ln(1+T/100))
Calculer espérance et variance de X
2 Soit X1 et X2 2 var aléatoires indépendantes de même loi que X
Exprimer X1X2 puis déterminer l'espérance et la variance de X1X2. "

[PlaneteF]

si vous pouvez me dire si dans l'exercice sur les proba je suis sur la bonne voie ça m'arrangerait.

Désolé, mais cette partie des probas je ne l'ai jamais ou peu étudié (à caser ultérieurement ), ... Ainsi je laisse le soin à d'autres intervenants de t'aider sur ce sujet.

[gg0]

Bonsoir.

Pour l'exercice de probas, tu remplaces effectivement T par les valeurs de T, et tu trouves les 10 valeurs prises par X avec équiprobabilité.
Ensuite, c'est du calcul plus facile si tu simplifies les expressions : exp et ln, ça devrait t'alerter !!

Bon travail !

NB :

[boisdevincennes]

merci monsieur gg. j'avais en fait trouvé. j'ai compris ce qu'est une loi uniforme (comme la proba d'un dé)

[boisdevincennes]

je ne suis pas arrivé à me servir des formules de planeteF. finalement, je trouve:
f'm(100x1,05^12/m -100)=1,05m/(1200x1,05^12/m) en sachant que e(m lna)=a^m (si je n'ai pas fait d'erreurs).
par contre la formule finale est toujours complexe si on multiplie par (x-x0).
je laisse de coté cette exercice pour le moment car j'ai d'autres problemes ou je suis aussi bloqué.