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exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.



  1. #1
    boisdevincennes

    exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.


    ------

    MERCI D'AVANCE DE VOTRE AIDE

    Voila 2 exercices que je veux faire mais je n'y parviens pas.
    premier exercice
    Soit
    fm(x)=Exp(m/12 x ln(1+x/100)) avec mE N* et xE [0 100]
    je trouve que la fonction réciproque est fm-1(x)=100x^(12/m)-100
    et f'm(x)=(m/(1200+12x))*Exp(m/12 x ln(1+x/100))

    on sait aussi que fm(10)>1.05 pour m>7 et que lim f'm-1(1,05) qd m tend vers +infini=1

    -on demande de déterminer l'équation de la tangente Tm au point de la courbe
    Cm de fm d'ordonnée 1,05 (je sais faire avec les abscisses mais pas avec les ordonnées.)

    Faut il se servir de fm-1(x)?

    Deuxieme exercice
    PROBA:
    Voila j'ai fait le début mais sans etre sur. il y a peut etre un lien avec l'exercice précédent car
    c'est la meme fonction.

    Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 selon la loi
    uniforme.Exp(1/12 x ln(1+T/100))
    1 Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie par
    X=Exp(1/12 x ln(1+T/100))
    Calculer espérance et variance de X
    2 Soit X1 et X2 2 var aléatoires indépendantes de même loi que X
    Exprimer X1X2 puis déterminer l'espérance et la variance de X1X2.

    1 Loi de la variable aléatoire?
    je pense que c'est
    P(T=1)=P(X=1)=Exp(1/12 x ln(1+1/100))
    P(T=2)=P(X=2)=Exp(1/12 x ln(1+2/100))
    ...jusqu'a 10
    Esperance: somme de I à N xi pi (c'est tres vilain a écrire)
    variance: on verra apres.

    2)je ne comprends pas la question.

    -----

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  4. #2
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    fm(x)=Exp(m/12 x ln(1+x/100))
    Bonjour,

    Il faut interpréter le caractère que j'ai mis en rouge dans la citation comme "la lettre x" ou bien comme "le signe de multiplication" ?

  5. #3
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    c'est un signe multiplié et la aussi
    Exp(1/12 * ln(1+T/100))

  6. #4
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    je précise que pour le premier exercice j'ai fait toutes les questions, donc ce n'est pas par manque de recherches que j'ai posté. j'ai cherché sur internet comment trouvé une tangente par l'axe des ordonnées sans succes. pareil pour la loi uniforme.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    correction: il faut lire lim m+infini fm-1(1,05) tend vers 1 et non pas f'm-1.

  9. #6
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    Faut il se servir de fm-1(x)?
    Oui effectivement, mais pour être rigoureux, il faut remarquer au préalable que la fonction étant continue et strictement monotone (en l'occurrence strictement croissante) sur , alors d'après le théorème de la bijection, est une bijection de cet intervalle vers son image par , c'est à dire .

    Donc il faut vérifier que appartient bien à dans tous les cas, ce qui te permettra de dire que existe et est unique dans .


    Tu peux aussi jusifier cela en partant de la fonction que tu avais calculé.
    Dernière modification par PlaneteF ; 29/10/2012 à 13h48.

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  11. #7
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    oui j'ai oublié de dire qu'au début de l'exercice j'avais déjà prouvé que fm etait bijective.

  12. #8
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    oui j'ai oublié de dire qu'au début de l'exercice j'avais déjà prouvé que fm etait bijective.
    OK, ... mais il faut quand même s'assurer que ou bien que
    Dernière modification par PlaneteF ; 29/10/2012 à 14h04.

  13. #9
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    oui. Mais vous me dites pas comment la trouver ensuite! parce que je ne vois toujours pas. ça me parait bizarre votre calcul car en plus je vois que 1,05 est bon juste pour m=1. e1/2ln2<0.5 et apres pareil

  14. #10
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    je voulais dire e(2/12)ln2<1.05. je n'ai pas trouvé la fonction editer.

  15. #11
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    Mais vous me dites pas comment la trouver ensuite!
    Euuuh, c'est quoi "la" ?

  16. #12
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    la tangente Tm de fm d'ordonnée 1.05

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  18. #13
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    je voulais dire e(2/12)ln2<1.05. je n'ai pas trouvé la fonction editer.
    Non, tu te trompes dans ton calcul, ... On a , ce qui est bien

    Ensuite il faut le vérifier/justifier
    Dernière modification par PlaneteF ; 29/10/2012 à 14h29.

  19. #14
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    ok c'est moi je commence à fatiguer. je suis depuis 6h la dessus.

  20. #15
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    e(m/12)ln2>1,05
    ln e(m/12)ln2>ln1,05
    m/12 ln2>ln1,05
    m/12>ln2/ln1,05
    m>12ln2/ln1,05
    m>=1

  21. #16
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    m/12 ln2>ln1,05
    m/12>ln2/ln1,05
    Le passage entre ces 2 lignes est faux.


    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    m>12ln2/ln1,05
    m>=1
    Le passage à la 2e ligne comme conséquence de la 1ère est faux.
    Dernière modification par PlaneteF ; 29/10/2012 à 15h33.

  22. #17
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    oui j'ai fait le bon calcul mais ecrit un truc faux:
    m/12 ln2>ln1,05
    m>12.ln1,05/ln2
    m>=1 puisque m E N*

  23. #18
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    j'ai avancé un peu:
    on cherche la tangente d'ordonnée 1,05 de fm
    on cherche l'abscisse qui correspond:
    f(x)=1,05
    <=>
    x=f-1(1,05)
    x=100x1,05^(12/m)-100
    nous cherchons donc la tangente en ce point.
    les calculs deviennent trop difficile ensuite donc j'ai pas continué
    EST CE LA BONNE METHODE?

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  25. #19
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    qqn pourrait me dire si je suis bien partie pour le deuxieme exercice?
    ou au moins me dire la méthode à utiliser. parce que remplacer les valeurs de T
    dans X ça me parait trop bete et pour le calcul de l'espérance et de la variance
    ça donne des trucs incalculables.

    Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 selon la loi
    uniforme.
    1 Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie par
    X=Exp(1/12 x ln(1+T/100))
    Calculer espérance et variance de X
    2 Soit X1 et X2 2 var aléatoires indépendantes de même loi que X
    Exprimer X1X2 puis déterminer l'espérance et la variance de X1X2.

  26. #20
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    j'ai avancé un peu:
    on cherche la tangente d'ordonnée 1,05 de fm
    on cherche l'abscisse qui correspond:
    f(x)=1,05
    <=>
    x=f-1(1,05)
    x=100x1,05^(12/m)-100
    nous cherchons donc la tangente en ce point.
    les calculs deviennent trop difficile ensuite donc j'ai pas continué
    EST CE LA BONNE METHODE?
    Si l'on appelle l'abscisse du point d'ordonnée , on a donc pour équation de la tangente en ce point :

    Tu viens de donner toi-même la valeur de et l'expression de , ... il te reste donc à calculer , ce qui ne pose pas de problème particulier ...
    Dernière modification par PlaneteF ; 30/10/2012 à 13h17.

  27. #21
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    ok: on a Ty=(m/(1200+12*Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100)))) * (X-(100x1,05^(12/m)-100)) + Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100))

    ce qui correspond a Ty=f'(a)(x-a)+f(a)
    je vois pas l'interet dans un exercice de donner une telle merde, excusez du peu.

    Bon la derniere question de l'exercice dont je n'avais pas parlé je m'y suis penché dessus sans trouver:
    Déterminer l'ensemble des mE N* tel que la pente de la tangente Tm>1

  28. #22
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    ok: on a Ty=(m/(1200+12*Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100)))) * (X-(100x1,05^(12/m)-100)) + Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100))

    ce qui correspond a Ty=f'(a)(x-a)+f(a)
    je vois pas l'interet dans un exercice de donner une telle merde, excusez du peu.
    Ouh là là , ... mais c'est beaucoup plus simple que cela

    Déjà pourquoi vas-tu d'embarquer à calculer de manière "frontale" alors que par définition ... tu l'avais écrit toi-même !!! (pour le "fun" tu peux développer ton calcul pour constater que tu retombes bien sur ).

    Ensuite, le reste se simplifie énormément.


    Il y a même une autre façon de faire qui aboutit à la solution de manière plus directe :

    On remarque d'abord que : ... et maintenant la ruse consiste à utiliser la formule :

    Quelle que soit la méthode, tu retomberas sur le même résultat !
    Dernière modification par PlaneteF ; 30/10/2012 à 14h00.

  29. #23
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    je suis d'accord pour fm(x0) j'avais pas vu. par contre avec vos formules, je vois mal comment simplifier.

  30. #24
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    comment connaissez vous autant de formules? il faut etre un dieu pour en savoir autant.

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  32. #25
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    Exp(m/12 x ln(1+(100x1,05^(12/m)-100)/100))))
    Comme exemple de simplification immédiate, l'expression en citation vaut :

     Cliquez pour afficher



    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    je suis d'accord pour fm(x0) j'avais pas vu. par contre avec vos formules, je vois mal comment simplifier.
    Puisque alors et donc
    Dernière modification par PlaneteF ; 30/10/2012 à 16h08.

  33. #26
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    je vais étudier tout ça je vous tiens au courant. si vous pouvez me dire si dans l'exercice sur les proba je suis sur la bonne voie ça m'arrangerait.
    j'avais dit:

    "parce que remplacer les valeurs de T
    dans X ça me parait trop bete et pour le calcul de l'espérance et de la variance
    ça donne des trucs incalculables.

    Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 selon la loi
    uniforme.
    1 Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie par
    X=Exp(1/12 x ln(1+T/100))
    Calculer espérance et variance de X
    2 Soit X1 et X2 2 var aléatoires indépendantes de même loi que X
    Exprimer X1X2 puis déterminer l'espérance et la variance de X1X2. "

  34. #27
    PlaneteF

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Citation Envoyé par boisdevincennes Voir le message
    si vous pouvez me dire si dans l'exercice sur les proba je suis sur la bonne voie ça m'arrangerait.
    Désolé, mais cette partie des probas je ne l'ai jamais ou peu étudié (à caser ultérieurement ), ... Ainsi je laisse le soin à d'autres intervenants de t'aider sur ce sujet.
    Dernière modification par PlaneteF ; 30/10/2012 à 16h29.

  35. #28
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    Bonsoir.

    Pour l'exercice de probas, tu remplaces effectivement T par les valeurs de T, et tu trouves les 10 valeurs prises par X avec équiprobabilité.
    Ensuite, c'est du calcul plus facile si tu simplifies les expressions : exp et ln, ça devrait t'alerter !!

    Bon travail !

    NB :

  36. #29
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    merci monsieur gg. j'avais en fait trouvé. j'ai compris ce qu'est une loi uniforme (comme la proba d'un dé)

  37. #30
    boisdevincennes

    Re : exercices tres difficiles sur les tangeantes et proba- loi uniforme.

    je ne suis pas arrivé à me servir des formules de planeteF. finalement, je trouve:
    f'm(100x1,05^12/m -100)=1,05m/(1200x1,05^12/m) en sachant que e(m lna)=a^m (si je n'ai pas fait d'erreurs).
    par contre la formule finale est toujours complexe si on multiplie par (x-x0).
    je laisse de coté cette exercice pour le moment car j'ai d'autres problemes ou je suis aussi bloqué.

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