L1 Biologie, montrer qu'un suite est croissante ou décroissante

[invitef3257a48]

Bonjour à tous, alors voilà, ayant arrêté mes études il y a quelques années, j'ai encore un peu de mal à ré-assimiler deux ou trois trucs en mathématiques, notamment au sujet des suites. Voilà mon problème, dans un exercice :

J'ai U(n+1)= (3Un+1)/4 ; U(0)=0 ; U(1)=1/4
et V(n+1)= (3Vn+1)/4 ; V(0)= 2 ; V(1)= 7/14

Je dois montrer que les deux suites sont adjacentes et calculer leurs limites.

Je souhaite donc montrer que U(n) croissante de cette manière :

- Posons f(x)= (3x+1)/4 => f'(x)= 3/4
Donc la fonction f(x) est croissante sur )-∞ ; +∞(
or U(n+1)=f(Un)

Et c'est maintenant que je n'arrive pas trop à se comprendre ce qu'il se passe..je vois bien que c'est grâce aux deux premiers termes que je peux dire si la suite est croissante ou non, donc ici, U(n) croissante, et V(n) décroissante..
Je sent bien que la réponse est toute bête, mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi, à partir du moment ou f est croissante, cela devrait signifier que quelque soit x, f(x)>x, non? Or ces deux suites sont définis par une application de cette fonction, j'avoue que je suis un peu perdu..Merci pour votre aide à venir ! ^^
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[invite621f0bb4]

Petit détail, je pense que ta suite est définie par U_n+2 et non U_n+1
Et je démontrerais plutôt le fait que U_n est croissante par récurrence, en utilisant pour hypothèse de récurrence que U_n+2> U_n+1. Ca me parait plus facile comme ça...
(Mais je t'avouerais que j'ai pas essayé)

[invitef3257a48]

Salut, bah non, ma suite est bien définit par U(n+1) mais par rapport à ce que tu me dis, je pense que je peux aussi comparer U(n) à U(n-1), nan? Je vais tenter ta proposition, mais j'aimerai quand même ben comprendre ce qu'il se passe avec ma méthode..Merci quand même!

[invite621f0bb4]

S'il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé, c'est qu'il y a un truc que je comprends pas, donc ej sais pas si je pourrais t'aider ^^

L'ennui avec U_n, c'est que tu pourras pas passer de U_n à U_n+1, donc tu pourras pas aboutir à U_n+1<U_n+2, en tout cas je vois pas trop comment...

Tu aurais

U_n<U_n+1
3U_n<3U_n+1
(3U_n)/4<(3U_n+1)/4

Et là tu as :

(3U_n)/4 < U_n+2
Donc le premier membre ne correspond pas à U(n+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3257a48]

Oulala, j'ai tellement de mal avec les suites..^^mais as tu bien compris que dans U(n+1)= (3Un+1)/4 , dans le deuxième membre, c'est bien
Un +1 et non U(n+1)?

[invitef3257a48]

Ah mais non c'est bon, je viens de comprendre mon problème.. Enfin à moitié en fait..en fait une fonction croissante ne fait que conserver l'ordre, voilà pourquoi si f est croissante, ça ne veut pas dire que si ma suite est défini par f(Un) elle sera croissante..ça conservera l'ordre donné par U0 et U1. Mais dans mon cas, f(Un)>f(U(n-1), donc U(n+1)>U(n), donc Un est croissante !

[invite621f0bb4]

D'accord alors là je comprends mieux ^^
Dans ce cas oui, tu peux faire par récurrence en partant avec l'hypothèse U_n<U_n+1 et ça devrait aller tout seul pour cette démonstration

Oui c'est bien ça, mais tu as fait une démonstration par récurrence, il faut montrer que ta propriété est vraie pour U₀ avec U₁, tu montres que f(U_n)>f(U_n+1) et tu conclues... Enfin c'est un peu ce que t'as fait.

[invitef3257a48]

Heuu...tu veux pas plutôt dire que je dois montrer qu'elle est vraie pour U1 avec U0, et montrer que fU(n+1) > fU(n) ?

[invite621f0bb4]

Oui bien sûr, c'était une faute de frappe ^^

[invitef3257a48]

Merci bien en tout cas, à la prochaine!

[invite621f0bb4]

De rien, je sais pas si au final j'aurais été d'une grande utilité mais bon ^^

[invitef3257a48]

Salut Samuel, au cas ou tu serais dans le coin ce soir, j'ai une nouvelle colle ^^

Dans un exercice ou j'étudie l'évolution d'une population dont certains individus sont atteints d'une maladie, je met en évidence la suite :

U(n+1)=3/5Un+200 et

- U0= 900
- U(n+1)-Un<0 donc la suite est décroissante

On me demande d'étudier la convergence de cette suite, je pose donc la fonction, calcule sa dérivée et trouve f'(x)=3/5.
Comment dois-je interpréter ça concernant sa convergence?

[invitef3257a48]

voila l'ex :http://web.univ-ubs.fr/lmam/frenod/I...103/exo3sv.pdf

[gg0]

Bonsoir.

Je ne sais pas quel lien tu veux faire entre la dérivée de la fonction et la convergence éventuelle de ta suite. Mais tu peux étudier le signe et le sens de variation de ta suite, et un théorème très classique sur les suites bornées te permettra de conclure qu'il y a une limite.
Tu pourras facilement la calculer en passant à la limite sur U(n+1)=3/5Un+200.

Bon travail !

[invitef3257a48]

Bonsoir, merci de t'intéresser à mon problème, mais je ne vois toujours pas..J'ai vraiment l'impression d'être largué là, ça fait 5 ans que je n'avais pas fait de maths!

j'ai calculé Un+1-Un,et trouvé une valeur négative, ce qui signifie que ma suite est décroissante.
ensuite si je calcule la dérivée, je tombe sur une constante : 3/5, je suppose que la seule chose à en interpréter est que ma suite est monotone, non? Mais pour le reste je ne vois vraiment pas quoi faire, peux tu m'éclairer stp, ça fait des heures que je butte sur ce genre de problème, et j'aimerai bien avoir l'explication de celui ci afin de tenter d'en faire un autre par la suite! Merci d'avance

[invitef3257a48]

Et il ya autre chose, j'ai tenté de résoudre : 3/5Un+200<1000 (car la population est constante et égale à 1000), mais du coup ça me donne
Un<800/15, je trouve ça pas logique car apparemment Un peut être supérieur, est ce que c'est parce que je n'ai pas tenu compte de U0 que je trouve ça?

[gg0]

Heu ....

3/5Un+200<1000 donne
3/5 un<800
3un<4000
un<4000/3
pas de lézard !

Tu dis que tu n'as pas fait de maths depuis 5 ans, donc il faut que tu révises tes cours de terminale sur les suites (et le cours de maths de cette année). Tu trouveras le théorème "une suite monotone bornée converge".

Comme je ne vais pas faire un cours de terminale S ici, c'est à toi de revoir ce qui te manque (et que tu es supposé savoir). mais je t'ai donné toutes les indications pour faire toi-même l'exercice (ce qui compte, c'est que toi tu le fasse, moi je peux le faire, mais je n'ai pas besoin : Je sais faire).

Cordialement.

NB : Désolé d'être brutal, mais tu as besoin de te forcer à avancer vite, sinon, la L2 sera trop difficile et la L3 inatteignable.

[invitef3257a48]

Lol, merci beaucoup, mais t'inquiètes, loin de moi l'idée de chercher la facilité, je n'ai pas décollé des mes exos depuis 10h ce matin ! Et si tu m'avais donné la méthode pour cet exercice, j'en aurai immédiatement cherché un autre à résoudre tout seul! Mais merci quand même, je vais m'arracher les cheveux encore quelques temps et on verra bien, mais c'est vraiment ce que je fais depuis ce matin que de revoir mes cours de term et de faire des exos!

[invitef3257a48]

Ah et pour le 4000/3, oui effectivement je ne sais pas trop ce que j'ai bouiné là ^^ merci bien

[invitef3257a48]

Mon travail :

U0= 900
U(n+1)= Un + 2/10(1000-Un)-2/10Un <=> U(n+1)= 3/5Un+200

U(n+1)-Un= -2/5Un + 200 or Un<1000 donc -2/5Un+200< -200 donc U(n+1)<Un donc la suite est décroissante.

" Je trouve que jusque là je ne m'en tire pas trop mal pour qqn qui n'a pas fait de maths depuis 5 ans! ^^ "

Mais après j'ai du mal à saisir le truc, même si je sent bien qu'il est tout bête, j'aimerai donc vraiment que l'on m'explique pour celui là afin que je puisse en faire et en refaire jusqu'à ce que ça vienne tout seul!

Je pose f(x)= 3/5x+200 et f'(x)= 3/5 donc f'(x) toujours positive, donc f(x) croissante, donc ma suite est monotone, mais ça je le sais déjà puisque j'ai calculé la différence entre U(n+1) et Un, non?
En revanche, comme tu l'as dit, 3/5Un+200<1000 <=> Un<4000/3, comment interpréter ce résultat? Et je ne vois toujours pas comment trouver la limite, pour moi cette fonction tend vers l'infini, mais ma suite est décroissante, et elle tend forcément vers une valeur particulière..Je pense qu'il y aune confusion dans ma tête entre a suite et la fonction, il vient de la mon problème..stp aide moi juste à trouver la solution de cet eco afin que je puisse m'entraîner sur d'autres..

Je sais aussi que je peux trouver la solution graphiquement, mais c'est le calcul qui m'intéresse..

[invitef3257a48]

C'était quand même pas très cool pour le coup.. c'est pas comme si j'étais un lycéen avec un DM à faire qui demande sur un forum à ce qu'on lui fasse tout le boulot..j'ai conscience que j'ai bcp de choses à rattraper en maths, raison pour laquelle je commence mes révisions de vacances par ça, je passe 10heures consécutives à trouver des exercices sur internet pour m'entraîner, je demande un peu d'aide pour une question sur laquelle je bute car j'ai du mal avec une certaine notion et tu me dis " bosse ou tu n'y arriveras jamais "... alors que comme je te l'ai dit, je cherchais simplement une aide pour la correction de cet exercice, afin de savoir une bonne fois pour toute comment procéder et en enchaîner une dizaine par dessus..déçu pour le coup..

[gg0]

Bon sang,

mais depuis le début tu perds ton temps à imiter un exercice précédent, au lieu de faire celui-ci !

Oublie cette fonction et sa dérivée, puisque ça ne te donne rien.

Je t'ai donné une piste sérieuse, tant que tu feras autre chose tu n'avanceras pas.

" Je trouve que jusque là je ne m'en tire pas trop mal pour qqn qui n'a pas fait de maths depuis 5 ans! ^^ " Ok ! Mais ça ne suffira pas !

Mais comme une question sans réponse peut gêner, je réponds à tes questions :

"mais ça je le sais déjà puisque j'ai calculé la différence entre U(n+1) et Un, non?" Oui, et tu aurais dû en déduire immédiatement que ça ne servait à rien !
" Un<4000/3, comment interpréter ce résultat? " Aucune idée, et c'est sans intérêt, car par construction, Un est compris entre 0 et 1000 (pour plus de sûreté, on peut le prouver par une récurrence facile.

"Et je ne vois toujours pas comment trouver la limite" Je te l'ai dit !

"pour moi cette fonction tend vers l'infini" ??? On s'en fout de la fonction, c'est la suite qu'on étudie !

"mais ma suite est décroissante, et elle tend forcément vers une valeur particulière" Oui, c'est le théorème que je t'ai signalé qui le justifie.

"Je pense qu'il y aune confusion dans ma tête entre la suite et la fonction" Oui, donc oublie définitivement la fonction.

Bon, maintenant, tu relis mes indications (message #14) et tu termines l'exercice.

Cordialement.

NB : En réponse à ton message #21 : Si tu ne suis pas les indications, on peut penser que tu n'essayes pas de comprendre comment faire. Et que tu sois lycéen ou vieillard cacochyme ne change rien : Soit tu veux savoir faire, et je t'aiderai si toi, tu fais ce qu'il faut, soit tu veux un corrigé, il y en a des bouquins pleins, je ne leur ferai pas concurrence !

[invitef3257a48]

Je cherche L tel que L= 0.6L+200 <=> L=500

Heureusement que j'ai trouvé quelqu'un de compatissant dans ma classe, j'ai bien compris que tu voulais que je réfléchisse et que j'arrête mon hors sujet, mais là ça faisait trois heures que je buttais dessus, trois heures, ça aurait été un exam je l'aurait zappé cette question, ça paraissait évident que si je butais autant dessus ça n'allait pas me venir à l'idée comme ça, au final j'aurai perdu 3 heures alors que j'aurai pu m'entrainer sur beaucoup d'autres exos en tout ce temps. Ok, c'est de ma faute, ça m'est pas venu à l'idée de faire ça, mais je suis pas non plus en fac de maths, ça n'empeche que c'est une matière qui m'intéresse beaucoup et dans la quelle je souhaite progresser, et me faire poirotter comme ça en voyant bien que j'avais pas le truc c'est clair que c'était pas la bonne solution comme tu as l'air de le croire. Maintenant que je le sais je saurai le refaire, et à présent je peux continuer à m'entraîner sur d'autres exercices pour être sur que j'assimile au fur et à mesure et que je ne ferai pas la même erreur d'essayer de résoudre un exercice de la même manière que je l'ai fait pour le précédent si ça n'a pas lieu d'être. Bonne soirée.

[invitef3257a48]

Mais je ne vois toujours pas en quoi j'étais censé être aiguillé par ton message 14, désolé :


"Je ne sais pas quel lien tu veux faire entre la dérivée de la fonction et la convergence éventuelle de ta suite. Mais tu peux étudier le signe et le sens de variation de ta suite, et un théorème très classique sur les suites bornées te permettra de conclure qu'il y a une limite.
Tu pourras facilement la calculer en passant à la limite sur U(n+1)=3/5Un+200."

Tu me dis d'abandonner l'idée de fonction, Ok
Un théorème très classique sur les suites bornées, il y en a surement plusieurs et je ne le trouvais pas celui la

L'indice était surement dans ta dernière phrase, sauf que dit comme tu m'as dit, j'ai compris : " A la limite, tu pourras facilement la calculer en travaillant avec U(n+1)= 3/5Un + 200, ce qui ne semblait pas vouloir dire grand chose.

Bon excuse moi d'être un peu monté en pression, j'ai bien compris ta démarche, mais je t'assure que là c'était pas la bonne solution, ça ne m'a aidé en rien, et ça aurait vraiment été beaucoup plus bénéfique pour moi de m'expliquer clairement comment faire cette fois afin que je puisse m'entrainer sur d'autres exercices, tu te doutes bien que j'aurai pas terminé après celui là a partir du moment ou j'ai eu besoin de l'aide de quelqu'un pour le résoudre. Aller sans rancune

[invitef3257a48]

"Tu pourras facilement la calculer en passant à la limite sur U(n+1)=3/5Un+200." mais avoue que tu l'as bizarrement formulé, hein...

[gg0]

Non,

je ne l'ai pas "bizarrement formulée", j'ai employé le vocabulaire mathématique. "Passer à la limite" est une expression courante.
Et tu as perdu 3 heures en ne lisant pas ce que j'avais écrit. Dommage !

[invitef3257a48]

Lol, mais si je l'ai lu, je n'ai fait que ça parceque tu n'arretais pas de me le dire! mais " passer à la limite " c'est peut être une expression connue quand on fait un cursus mathématique, mais moi jamais entendu, et non non, c'est pas dû à un manque d'attention en cours ; je me coucherai moins bête ce soir ^^

du coup je comprenais " a la limite " dans le sens " bah, à la limite..fais le en te servant de Un " ce qui me paraissait évident alors j'ai pas cherché plus loin, ne connaissant pas cet expression

[invitef3257a48]

la preuve : http://forums.futura-sciences.com/ma...-a-limite.html