Fonction partie entière (Term S)

invite229aaaaf · 02/11/2012, 14h48

Bonjour, j'ai un exercice en DM sur un sujet que je n'ai jamais traité. Voici l'énoncé :
La fonction E est la fonction partie entière. A l'aide des théorèmes de comparaison, donner la limite en +∞ et en -∞ des fonctions.

a. f(x)= x² - E(x) avec x qui appartient à R.
b. g(x)= (x+E(x))/x² avec x qui appartient à R*

J'ai donc trouvé que la partie entière E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
x - 1 $\text{[math]}$ E(x) < x

J'ai essayé pour le a. mais je ne sais pas si c'est dans cette direction que je dois me diriger...
x - 1 $\text{[math]}$ E(x) < x
x²(x - 1) $\text{[math]}$ f(x) < x² - x
x²(x - 1) $\text{[math]}$ f(x) < x(x-1)

On fait : x² = 0 alors x=0 ou x-1=0 alors x=1
Idem pour x(x-1).
Donc lim en -∞ = 0 et en +∞ = 1 ?

Merci à ceux qui prendront le temps de lire ce sujet!

**PlaneteF** · 02/11/2012, 15h40

Bonjour,

Envoyé par Dilemmae

E(x) < x

$\text{[math]}$

Envoyé par Dilemmae

x - 1 $\text{[math]}$ E(x) < x
x²(x - 1) $\text{[math]}$ f(x) < x² - x

Et tu passes comment d'une ligne à l'autre ?? ...

Envoyé par Dilemmae

x²(x - 1) $\text{[math]}$ f(x) < x(x-1)

Donc si l'on prend par exemple $\text{[math]}$ , on obtient selon toi : $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$

Envoyé par Dilemmae

On fait : x² = 0 alors x=0 ou x-1=0 alors x=1
Idem pour x(x-1).
Donc lim en -∞ = 0 et en +∞ = 1 ?

Au delà du fait que c'est faux plus haut, je ne comprends rien à ce que tu écris, $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , alors pourquoi écris-tu "On fait : x² = 0 alors x=0 ou x-1=0 alors x=1"

Envoyé par Dilemmae

Donc lim en -∞ = 0 et en +∞ = 1 ?

Je ne vois pas le rapport avec ce que tu as écrit juste avant

invite229aaaaf · 02/11/2012, 16h05

Je ne comprend rien à ce qu'il faut faire c'est pour ça que j'essaye de découvrir des pistes, même fausses je m'en doute, mais au moins j'essaye quelque chose non ? Vu que je n'ai jamais vu ça en cours ça ne peut pas me tomber du ciel et je n'arrive pas à trouver des exemples qui pourraient m'aider.

Donc d'accord, c'est faux, mais comment je peux arriver à un bon raisonnement alors ? C'est ça que j'aimerai comprendre.

**PlaneteF** · 02/11/2012, 16h27

Envoyé par Dilemmae

Je ne comprend rien à ce qu'il faut faire c'est pour ça que j'essaye de découvrir des pistes, même fausses je m'en doute, mais au moins j'essaye quelque chose non ? Vu que je n'ai jamais vu ça en cours ça ne peut pas me tomber du ciel et je n'arrive pas à trouver des exemples qui pourraient m'aider.

Donc d'accord, c'est faux, mais comment je peux arriver à un bon raisonnement alors ? C'est ça que j'aimerai comprendre.

Avant de te donner les bonnes pistes, il est très important que tu sois "confronté" aux choses que tu as écrites surtout lorsqu'elles sont fausses, ... c'était exactement l'objet de mon précédent message. Ce que je cherche à comprendre c'est pourquoi tu écris ces choses là qui sont fausses ?

Donc si l'on revient au début :

On a précisément : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Comment à partir de là arrives-tu à trouver : $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite229aaaaf · 02/11/2012, 16h40

J'ai ajouté de chaque côté x² afin d'avoir au milieu l'expression de f(x) = x²- E(x) qui soit encadrée pour en déterminer les limites lorsqu'elle tend vers - et + l'infini...
Mais rien que dans ça je me suis trompée, ça aurait plutôt x² - (x-1) < x² - E(x) < x² - x...

**PlaneteF** · 02/11/2012, 16h48

Envoyé par Dilemmae

ça aurait plutôt x² - (x-1) < x² - E(x) < x² - x...

Attention, c'est faux.

Rappel : Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ (tu n'as pas interverti $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ )

invite229aaaaf · 02/11/2012, 16h53

Donc il faut changer les signes tels que : x² - (x-1) > X²- E(x) > x² - x
x² - x + 1 > x² - E(x) > x² - x
Effectivement c'est plus logique...

**PlaneteF** · 02/11/2012, 16h55

Envoyé par Dilemmae

x² - x + 1 > x² - E(x) > x² - x

C'est $\text{[math]}$ pour le caractère en rouge dans la citation.

invite229aaaaf · 02/11/2012, 18h30

Oui. Et maintenant je dois calculer la limite des deux côtés?

**PlaneteF** · 02/11/2012, 20h07

Envoyé par Dilemmae

Oui. Et maintenant je dois calculer la limite des deux côtés?

Oui, vas-y ...

invite229aaaaf · 05/11/2012, 13h16

Ben c'est +∞ car le carré l'emporte dans les deux cas...
Donc la lim quand ça tend vers +∞ = +∞ et en -∞ c'est 0, car toujours supérieur à 0. ?

**PlaneteF** · 05/11/2012, 13h23

Envoyé par Dilemmae

Donc la lim quand ça tend vers +∞ = +∞ (...)

Oui c'est juste ...

Envoyé par Dilemmae

(...) et en -∞ c'est 0, car toujours supérieur à 0. ?

Non, c'est faux.

invite229aaaaf · 05/11/2012, 13h35

Alors en -∞ ça tend aussi vers +∞..

**PlaneteF** · 05/11/2012, 13h42

Envoyé par Dilemmae

Alors en -∞ ça tend aussi vers +∞..

Oui ...

En fait ici on peut même se contenter de la seule inégalité suivante : $\text{[math]}$

Car puisque $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

(Si une fonction tend vers + l'infini, alors une fonction qui lui est supérieure tend aussi vers + l'infini)

invite229aaaaf · 05/11/2012, 14h23

D'accord, merci beaucoup. J'essaye l'autre équation pour voir.
$\text{[math]}$ =
x - 1 < E(x) < x
x + x - 1 < x + E(x) < x + x
2x - 1 < x + E(x) < 2x
$\text{[math]}$ < f(x) < $\text{[math]}$ on ne change pas le sens car x² > 0

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ = Forme indeterminée donc.

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$
La limite est donc 0 (car x/x=1 il reste donc 2/x et sa limite est 0 donc la lim est 0.)

Ensuite :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ = Forme indeterminée donc:

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ reste 2.

$\text{[math]}$ donc on a $\text{[math]}$ = 0 donc les deux limites sont 0 donc la fonction tend vers 0.

**PlaneteF** · 05/11/2012, 14h36

Envoyé par Dilemmae

x - 1 < E(x) < x

J'insiste, même si ici, cela n'a pas d'incidence sur le résultat, c'est $\text{[math]}$

Envoyé par Dilemmae

(...) donc les deux limites sont 0 donc la fonction tend vers 0.

Globalement c'est bon, sauf que tu utilises une inégalité sur les 2 pour $\text{[math]}$ , ... idem pour $\text{[math]}$ . Il faut préciser pourquoi, parce que là ta démonstration n'est pas totalement complète.

invite229aaaaf · 05/11/2012, 14h55

D'accord donc il faut que je précise la limite à gauche en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et idem pour droite?

**PlaneteF** · 05/11/2012, 15h29

Envoyé par Dilemmae

D'accord donc il faut que je précise la limite à gauche en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et idem pour droite?

Tu peux avoir les 2 approches suivantes :

1) Soit tu étudies pour $\text{[math]}$ la limite pour les 2 inéquations, ... puis ensuite idem pour $\text{[math]}$ --> ce qui te fait considérer 4 limites en tout, ...

2) ... soit tu optes pour une démarche plus économe, en remarquant que lorsque $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , on peut considérer alors que $\text{[math]}$ et donc dans ce cas $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ , et du coup, dans ce cas, tu n'as plus qu'une seule limite à considérer. Et tu fais le même raisonnement pour $\text{[math]}$ .

invite229aaaaf · 05/11/2012, 16h25

D'accord, merci mille fois d'avoir pris le temps de m'expliquer !

invite229aaaaf · 05/11/2012, 16h43

Encore une question sur un autre exercice (désolée...!).
Soit f(x)= $\text{[math]}$
J'ai montré que la fonction était impaire et j'ai donné la limite en $\text{[math]}$ (j'ai trouvé 0) et j'en ai déduis celle en $\text{[math]}$ (0 également) comme demandé.
Ensuite ils me donnent :

3. La fonction g est définie sur [0; $\text{[math]}$ ] par g(x) = $\text{[math]}$
Donner le signe de g sur l'intervalle donné. J'ai dis que g > 0 sur cet intervalle.

En déduire que pour tout x de l'intervalle, cos x > $\text{[math]}$

Et je sais pas du tout par ou commencer ?

**gg0** · 05/11/2012, 17h29

Réécris g(x) > 0 en remplaçant g(x) par sa valeur ...

C'est d'ailleurs g(x)>=0 (voir x=0)

Cordialement.

invited9b9018b · 05/11/2012, 17h44

Bonjour,

Envoyé par Dilemmae

Encore une question sur un autre exercice (désolée...!).
Soit f(x)= $\text{[math]}$
J'ai montré que la fonction était impaire [...]

Attention : $\text{[math]}$ !
A+

invite229aaaaf · 06/11/2012, 15h37

Ah oui, tout simple

Dernière question :
En admettant que sur ]0;Pi/2], cosx < $\text{[math]}$ , en déduire un encadrement de la fonction f. (donnée deux post au dessus) puis donner la limite de f quand x tend vers 0 par valeur supérieure. (qu'est ce que "par valeur supérieure?")
En déduire la limite de f(x) quand x tend vers 0 et inférieur à 0, f est-elle continue en 0 ?

Pour l'encadrement, il faut remplacer cos x par la valeur de f(x) ?

**PlaneteF** · 06/11/2012, 15h53

Envoyé par Dilemmae

Pour l'encadrement, il faut remplacer cos x par la valeur de f(x) ?

Euuuuuhhhh

... tu peux reformuler ta question, parce que là, çà ne ne veut pas dire grand chose !

invite229aaaaf · 06/11/2012, 16h05

Ben f(x)= $\text{[math]}$ , est ce qu'il faut que je fasse :

cos x < $\text{[math]}$
1 - cos x > $\text{[math]}$

Après je prends la racine et je mets tout sur x² ?

**PlaneteF** · 06/11/2012, 16h12

Envoyé par Dilemmae

1 - cos x > $\text{[math]}$

Attention, il y a des erreurs de signe ...

**pallas** · 06/11/2012, 17h55

pour traiter lim (2x-1)/x² en l'infini il est plus juste d'écrire lim x(2-1/x)/x fois x= lim(2-1/x)/x = (2-0)/infini = 0

invite229aaaaf · 07/11/2012, 14h33

Alors voila ce que j'ai fais :
f(x) = $\text{[math]}$ (Je m'étais trompée avant) Ce qui donne pour en déduire un encadrement de la fonction f =

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Juste, non ?

**PlaneteF** · 07/11/2012, 14h46

Envoyé par Dilemmae

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

D'entrée de jeu, le passage entre ces 2 lignes est faux ...

invite229aaaaf · 07/11/2012, 14h55

Je ne comprends pas pourquoi, parce que avant j'avais changé de signe et vous m'aviez dit qu'il y a une erreur de signe...
Et à part ça, j'ai ajouté (1-) ici donc
1 - 1 - (...) < 1 - cos x < 1 - (...) + 1

Ou alors il faut que je mette des parenthèses après le 1 - ? et que je fasse 1 - sur l'ensemble ?

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