Récurrence nombres complexes

[invite4e1b628a]

Bonjour,
Je suis en terminale S et j'ai un dm de maths à rendre pour la rentrée et je bloque d'où ma présence sur ce forum!
Voilà l'énoncé:
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O;u;v), on considère les points M_n d'affixe z_n = (1i/2)n*(1+i3^(1/2)) ( ^(1/2) étant racine carré! ) où n est un entier naturel.

1°) donner z₀ et z₁ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique

Réponse: z₀= 1+i3^(1/2) donc z₀ = 2(cos(pi/3)+isin(pi/3))
z₁= -3^(1/2)/2+1i/2 donc z₁ = 1(cos(5pi/6)+isin(5pi/6))

2°)Démontrer par récurrence que: pour tout entier naturel n, on a z_n=z₀(1i/2)ⁿ
et là je bloque, je n'arrive pas à faire la récurrence, si quelqu'un pourrait m'aider, ça serait avec plaisir!!!!

Merci d'avance!!
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[Lil00]

Bonjour,

Je ne suis pas bien sûre d'avoir tout vérifié, il y a des imprécisions dans tes notations : j'ai l'impression que dans ton énoncé il faut lire "puissance n", alors que ton n n'est pas en exposant. Je me trompe ?
Et puis, pour simplifier, enlève les "1" qui multiplient, ça alourdit sans raison.

Sinon, pour ta question 2, il faut d'abord vérifier que la relation est vraie pour n=1, donc que z₁=z₀(i/2)ⁿ
Ensuite, en supposant que c'est vrai pour tout n>0, montrer que c'est vrai pour n+1, par exemple en calculant z_n+1/z_n

[invite4e1b628a]

Oui, le n est bien en exposant, j'ai mis le facteur 1 pour mettre en évidence la forme trigonométrique, mais je l'enlèverai de ma copie alors
Sinon, j'ai d'abord fait la première étape sans trop de soucis, c'est plutot la deuxième qui me pose problème, mais je ne vois toujours pas pour la seconde étape :/

[invite39a34ef5]

Ce qui est étrange c'est que comme et donc , la démonstration de la question 2 n'a pas vraiment lieu d'être, puisque ce n'est qu'une reformulation de l'énoncé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Si
alors puisque
pas besoin de récurrence !
Tu es sure que tu nous a donné le bon énoncé ?

Cordialement.

[invite4e1b628a]

Oui oui, pas de doute là dessus, c'est le bon énoncé , la réponse ci dessus me paraît également logique, mais c'est bien une récurrence qui est
demandée ^^

[gg0]

Faire une question idiote est-il un signe d'intelligence ?

Décide ce que tu veux faire.

Cordialement.

[invite4e1b628a]

Peut-être que c'est une question idiote, mais j'aurais aimé savoir si quelqu'un pouvait m'aider sur la récurrence tout simplement ^^

[invite4e1b628a]

Au final, j'étais voir un prof de maths qui m'a dit la même chose que vous, donc j'abandonne!