Résolution équation

[invite2fe97e00]

Bonjour à tous et à toutes ! J'aurai besoin d'un coup de main pour un exercice de maths, voici mon énoncé :

On se propose de résoudre l'équation (E) :

cos x + sin x = racine2 pour x appartenant à [-pi/2 ; pi/2]

1) (E) admet une solution évidente, laquelle ?
Je pense que c'est pi/4 mais j'aimerai savoir s'il appartient bien à l'intervalle donné, soit [-pi/2 ; pi/2]. Est-ce bien cela ?

2) (a) Soit P le polynôme du second degré définie sur R par : P(x) = 2x² - 2racine2x + 1
Déterminer la forme canonique de P ..
Alors j'ai trouvé ça, est-ce bien cela aussi ? :

2(x-racine2/2)² + 0 (si vous avez besoin du détail dites moi le je vous le mettrai)

(b) A l'aide de la question précéente déterminer l'antécédent de 0 par P. (j'ai besoin d'aide surtout ici..)

(c) En posant X = cos x et Y = sin Y et ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par X et Y, former un système de deux équations à
deux inconnues que l'on résoudra (en utilisant le résultat de la question précédente) (besoin d'aide aussi là..)

Merci d'avance !!
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

1. OK

2.a. OK. Tu peux même te passer du " + 0"
2.b. Que ne comprends-tu pas ?
Il te suffit de déterminer x afin que P(x)=0.

Duke.

[PlaneteF]

Bonjour,

1) (E) admet une solution évidente, laquelle ?
Je pense que c'est pi/4 mais j'aimerai savoir s'il appartient bien à l'intervalle donné, soit [-pi/2 ; pi/2]. Est-ce bien cela ?

est bien une solution de l'équation, ... maintenant se poser la question si , c'est se poser la question si :

Euuuuuh, ... à ton avis ?!!

2) (a) Soit P le polynôme du second degré définie sur R par : P(x) = 2x² - 2racine2x + 1
Déterminer la forme canonique de P ..
Alors j'ai trouvé ça, est-ce bien cela aussi ? :

2(x-racine2/2)² + 0 (si vous avez besoin du détail dites moi le je vous le mettrai)

Pour le vérifier par toi-même, rien de plus simple, développe la forme canonique que tu viens de trouver, et tu dois retomber sur la forme initiale

(b) A l'aide de la question précéente déterminer l'antécédent de 0 par P. (j'ai besoin d'aide surtout ici..)

Déterminer l'antécédent de par , revient à chercher tel que et donc à résoudre cette équation en

--> La forme canonique précédente te donne immédiatement la solution.

(c) En posant X = cos x et Y = sin Y et ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par X et Y, former un système de deux équations à
deux inconnues que l'on résoudra (en utilisant le résultat de la question précédente) (besoin d'aide aussi là..)

Attention, c'est qu'il faut poser.

Déjà tu obtiens la première équation tout simplement en remplaçant par , et par dans l'équation à résoudre.

Pour la 2^e équation à trouver, quelle équation "archi-archi-archi connue" existe t-il entre et (donc entre et ) ?

[invite2fe97e00]

Bonjour Duke, j'ai compris, je sais comment il faut faire car j'ai vu la méthode en cours mais ici je sais pas trop comment m'y prendre est-ce un bon départ ?

P(x) = 0
2(x - 2racine2)² = 0
Dans l'énoncé on dit qu'il faut se servir de la forme canonique, donc je prend celle la, et non P du départ ?
Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

P(x) = 0
2(x - 2racine2)² = 0
Dans l'énoncé on dit qu'il faut se servir de la forme canonique, donc je prend celle la, et non P du départ ?

Disons que tu pourrais très bien te servir de la forme de du départ, tu calculerais le discriminant et tu trouverais le résultat.

Mais là tu as la forme canonique sous les yeux, et elle te donne la racine immédiatement sans calcul, ... donc ne pas s'en priver !

[invite2fe97e00]

donc ca donne :
P(x) = 0
2(x-racine2/2)² = 0
Puis x - racine2/2 = 0
x = racine2/2
est-ce bien cela ?

[PlaneteF]

donc ca donne :
P(x) = 0
2(x-racine2/2)² = 0
Puis x - racine2/2 = 0
x = racine2/2
est-ce bien cela ?

Oui c'est bon ...

[invite2fe97e00]

Merci pour votre aide, j'ai vérifier en fait c'est bien cela.
A présent pour la c) quand vous dites "Attention, c'est Y = sin x qu'il faut poser." dans mon énoncé c'est en fait : en posant X = cos x et Y = sin y (désoler de l'erreur tout à l'heure)

[invite2fe97e00]

La formule est-elle : cos²x + sin²x = 1 ?
Comment je dois présenter mon système ?
Merci.

[PlaneteF]

A présent pour la c) quand vous dites "Attention, c'est Y = sin x qu'il faut poser." dans mon énoncé c'est en fait : en posant X = cos x et Y = sin y (désoler de l'erreur tout à l'heure)

Il y a une erreur dans ton énoncé, ... il faut poser , sinon tu n'arriverais à rien ( représenterait quoi et servirait à quoi dans ce cas ??!)

La formule est-elle : cos²x + sin²x = 1 ?
Comment je dois présenter mon système ?

Oui c'est bien la formule à utiliser, mais maintenant il faut l'exprimer avec et .

[invite2fe97e00]

Je suis formelle, dans mon énoncé c'est bien X = cos x et Y = = sin y ..
alors :

X² + Y² = 1

[gg0]

rarement 1 (prendre x=pi/2 et y=0 par exemple).

Quand on est bloqué sur une erreur d'écriture ...

[PlaneteF]

Je suis formelle, dans mon énoncé c'est bien X = cos x et Y = = sin y ..

Ah mais je te crois sur parole quand tu me dis ce qu'il y a dans ton énoncé, ... mais de mon côté je suis formel tout autant pour te redire que cet énoncé est faux !

... Ou sinon prend ce qu'il y a dans ton énoncé à savoir , car tu as parfaitement le droit de poser ce que tu veux, ... mais maintenant que toi ou quelqu'un d'autre me montre ce que l'on en fait (réponse : pas grand chose )

[invite2fe97e00]

Oui je suis d'accord enfin c'est pas bien grave je prof a du se tromper ou je ne sais quoi....
Je ne sais par contre vraiment pas comment poser mon système, je sais qu'il faut qu'il soit sous cette forme : (exemple)

mais je ne sais pas quoi mettre dedans....

[PlaneteF]

(...) je sais qu'il faut qu'il soit sous cette forme : (exemple)

Mais pas du tout ... ... Ton système n'est justement pas sous cette forme !!! ... Je crois que tu as complétement "la tête dans le guidon" = C'est très bien de vouloir te rattacher à des choses que tu connais déjà, cela prouve au moins que tu connais des choses, ... mais à la condition de ne pas en être esclave (c'est beau ce que je dis ).

Ecris d'abord explicitement tes 2 équations avec et , ... pour la résolution on verra après ...

[invite2fe97e00]

Hahahahahahaha Voila les deux équations :

pi/4 x + pi/4 y = racine2
x² + y² = 1
?...

[PlaneteF]

Hahahahahahaha Voila les deux équations :

pi/4 x + pi/4 y = racine2
x² + y² = 1
?...

D'abord il s'agit de et , et non pas et .

Modulo cette remarque, OK pour la 2^e équation, ... mais comment diable obtiens-tu la 1^ère ???

[invite2fe97e00]

ok, beh je sais pas justement la premiere je ne sais pas comment l'écrire!!!
helpme!

[invite2fe97e00]

ahhh c'est : X + Y = racine2 non ???

[Lil00]

Reprends la première équation de l'énoncé...

Edit : tu as trouvé ! Y'a plus qu'à résoudre...

[PlaneteF]

ahhh c'est : X + Y = racine2 non ???

Quand je te disais tout à l'heure que tu as "la tête dans le guidon", ... tu es d'accord avec moi ?!!

[invite2fe97e00]

haha oui je suis fatigué j'ai trop de devoirs....
donc voila la résolution : (je ne sais pas comment écrire les systemes a l'ordi donc ca sera comme ca..)

D'après l'énoncé on sait que X = cos x et Y = sin x

alors je peux former le systeme suivant :

X + Y = racine2
X² + Y² = 1

D'après la question (b) précédente on sait que X = racine2/2

Alors je remplace dans le système :

racine2/2 + Y = racine2
(racine2/2)² + Y² = 1

et ainsi desuite et j'arrive à la fin avec le dernier système :

X = racine2/2
Y = racine2/2

C'est ça ?

[PlaneteF]

D'après la question (b) précédente on sait que X = racine2/2

Pas du tout, ... ce n'est absolument pas ce que te dit la question 2)b) :

La question 2)b) dis que l'équation : a pour unique solution

Comment à partir de ce résultat arrives-tu à en déduire que ??


Alors c'est effectivement le bon résultat final, sauf que tu n'as absolument rien démontré !

[invite2fe97e00]

ahhhhh, bon beh c'est bien pour ça que j'ai crée ce fil, parce que toute seule je ne sais pas comment faire ..

[invite2fe97e00]

et dans la question c) ils disent entre parentheses qu'il faut utiliser le resultat de la question precedente donc la b) et donc racine2/2 ......

[PlaneteF]

ahhhhh, bon beh c'est bien pour ça que j'ai crée ce fil, parce que toute seule je ne sais pas comment faire ..

Il faut résoudre le système d'équations suivant :






Pour ce faire, je te propose la démarche suivante :

1) A l'aide de la 1^ère équation, tu exprimes en fonction de ;

2) Ensuite tu remplaces dans la 2^e équation l'expression de ainsi déterminée, ... Tu obtiendras alors une équation du 2^nd degré en , ... qui normalement devrait "te dire quelque chose" !

3) Et maintenant, c'est justement là et uniquement là que tu fais intervenir le résultat de la question 2)b)

[invite2fe97e00]

d'accord merci! mais faut au moins une valeur pour que je puisse trouver le Y..

[PlaneteF]

d'accord merci! mais faut au moins une valeur pour que je puisse trouver le Y..

Une valeur de quoi ???

[invite2fe97e00]

beh du X ! X + Y = racine2
Y = racine2 - X --> me faut connaitre le X sinon je peux pas

[PlaneteF]

beh du X ! X + Y = racine2
Y = racine2 - X --> me faut connaitre le X sinon je peux pas

Et ben, fait comme je te l'ai indiqué, applique le point 2) de la démarche que je t'ai proposé, à savoir tu remplaces par , dans la 2^e équation, ... et bla bla bla, ... je ne vais pas réécrire la même chose