Arithmétique: équation diophantienne

[Minialoe67]

Bonjour,

je n'arrive pas à faire un exo niveau terminale. Enfin j'ai oublié la méthode...

résoudre dans Z l'équation (S) 138x-55y=5

1) Montrer que si (x0,y0) est solution de (S) alors x0 congru à 0 mod5.

J'ai réussi cette question.

2) En utilisant le 1) et la division euclidienne de 138 par 11, trouver une solution particulière de (S).

Grâce à l'algorithme d'euclide j'arrive à 1=138*2-11*25 mais je n'arrive pas à continuer. C'est ce 11 qui m'embête... aidez moi.


3) en déduire l'ensemble des solutions de (S)
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[gg0]

Ben ...

tu as trouvé ta solution particulière, il suffit de la lire.
Quel était le rapport avec ton équation ?

Cordialement.

[Minialoe67]

1=138*2-11*25

(x0,y0)=(2,25) mais c'est solution de 138x-11y=1, pas de l'équation (S).

Ce que je ne comprend pas c'est pourquoi on a "divisé par 5" l'équation (S) sans diviser 138...

[Seirios]

Bonsoir,

En multipliant par 5 l'égalité , tu obtiens ...

Pour la suite de l'exercice, la méthode que l'on présente habituellement est d'écrire et ainsi de se ramener à l'équation , qui se résout par des arguments de divisibilité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Minialoe67]

Ok je pense avoir trouvé:
les solutions finales (x,y) sont celles de la forme (55k+10,138k+25)