Problème de suite avec vn+1=1.4vn-0.05vn²

[invite5fd0113c]

Bonjour, voila j'ai un gros problème sur un dm de TS, si vous pouviez m'aider ca serait super sympa
vn+1=1.4vn-0.05vn²
Soit f la fonction definie par f(x)=1.4x-0.05x²
Après un raisonnement de récurrence qui a permis de démontrer que pour tout entier naturel n 2<vn<vn+1<8 et après avoir montrer que f(x)-8=-0.05(x-20)(x-8)
On cherche à montrer que 8-vn+1<0.9*(8-vn)
Puis il faut en déduire que 8-vn<6*0.9^n
J'ai fait tout le dm mais je suis bloqué à ces deux questions, si vous pouviez m'aider...
Merci d'avance...
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[gg0]

Bonsoir.

8-v_n+1 = 8-f(x) =0.05(x-20)(x-8) où x=v_n
Et que peux-tu dire de 0.05(x-20) ?

la fin se fait par récurrence.

Cordialement.

[invite5fd0113c]

8-vn+1 = 8-f(x) =0.05(x-20)(x-8) où x=vn
On peut affirmer que 0.05(x-20)<0.9 car x=vn et vn converge vers 8 et donc ne peut depasser cette valeur or si x=8 alors 0.05*(8-20)=-0.6<0.9 c'est bien ca?
Merci pour ton aide

[gg0]

Il faudrait une preuve plus solide sur le rapport entre 0.05(x-20) et 0,9, d'autant que 0.05(x-20) est négatif pour x proche de 8.
mais tu as un encadrement de x (=u_n), tu pourrais t'en servir...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5fd0113c]

Merci beaucoup pour ton aide j'ai réussi l'avant dernière question, mais pour la dernière un raisonnement par récurrence ne me semble pas judicieux puisqu'on nous demande de déduire de la question précédente...
Merci d'avance

[gg0]

Et c'est bien la question précédente qui permet de justifier la récurrence, comme tu l'aurais vu en essayant !

[invite5fd0113c]

Effectivement...
Merci énormement ton aide m'a été d'un grand secours

[invite711d064a]

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer en détail comment prouver que 8 - Vn+1 < 0,9 x (8 - Vn)
Malgré votre discussion, je ne parvient toujours pas a comprendre...
Merci d'avance !

[gg0]

Tout est dit dans les messages #3 et #4. Tu dois être capable d'étudier une fonction, non ? par exemple ici x--> 0.05(x-20).

Cordialement.