Distance d'un point à une droite

[invite4cbf5ecc]

Bonjour,
J'ai un DM de maths à faire, j'essaie de le comprendre mais je n'y arrive pas. Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ?
Voici l'exercice et le peu que j'ai fait:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit (D) la droite d'équation cartésienne 2x-y+8= 0.Soit a un réel et M le point de la droite (D) d'abscisse a.
1) Exprimer les coordonnées de M puis la distance OM en fonction de a.
2) Pour quelle valeur de a la distance OM est-elle minimale ? (On pourra remarquer que OM est minimale quand son carré OM² est minimal.)
3) On appelle Mo le point M tel que OMo est minimal. Faire une figure. Que peut-on dire des droites (OMo) et (D) ? Justifier.

Je vous remercie d'avance.

1) (D): 2x-y+8=0 M E (D) et a abscisse de M.
donc M (a;x).
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[Seirios]

Bonjour,

Selon toi, quelle est l'ordonnée du point M ? Tu as mis (a,x), mais à quoi correspond ce x ?

[invite4cbf5ecc]

Alors je pense que ça peut être M(a;8) ?

[Lil00]

Non, ce n'est pas ça.

Que sais-tu du point M ?
Il a pour abscisse a, et il appartient à la droite D. Donc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

En mathématiques, une réponse non justifiée ne vaut pas grand chose, il ne s'agit pas de deviner le résultat, mais de le prouver !

Quelles sont les coordonnées du point d'abscisse a de la droite d'équation 2x-y+8=0 ?

[invite4cbf5ecc]

Alors:
(D): 2x-y+8=0
y=2x+8 donc a (1;2)
et donc M (1;8)
c'est bon ?

[Lil00]

Alors:
(D): 2x-y+8=0
y=2x+8

OUI

Mais ça :

a (1;2)

Ca veut dire quoi et ça sort d'où ?

Ne perds pas de vue la question : donner les coordonnées de M en fonction de a.

[invite4cbf5ecc]

M (a;2) vu que M a pour abscisse a et que son ordonnée est b dans l'équation cartésienne ax+by+c=0 qui est 2.

[Lil00]

Toujours pas.

Soit M(x,y).

M appartient à (D) donc x et y satisfont à l'équation : ??
M a pour abscisse a, c'est-à-dire que x=??

Donc
x= ?
y= ?

Donc M(?,?)

[invite4cbf5ecc]

Mais comment je peux savoir les coordonnées de a ? Je ne comprends pas.

[invite4cbf5ecc]

C'est possible de marquer cela:
(D):2x-y+8=0
y=2x+8
donc M a pour abscisse a donc M (a; 2a+8)

[Lil00]

Mais comment je peux savoir les coordonnées de a ? Je ne comprends pas.

J'espère que tu as compris l'incohérence de cette phrase...

C'est possible de marquer cela:
(D):2x-y+8=0
y=2x+8
donc M a pour abscisse a donc M (a; 2a+8)

Oui, c'est même la bonne réponse, bravo !!

[invite4cbf5ecc]

a d'accord mais je savais pas en fait qu'il était possible de mettre cela: 2a+8, je croyais qu'il fallait que ce soit un nombre.
ensuite pour la distance OM vous pouvez me guider sur le cheminement de la réponse, je ne vois pas comment m'y prendre, s'il vous plait ?

[Lil00]

Tu dois avoir appris en cours à calculer la distance entre deux points, non ?

Sinon, regarde ta figure et pense à Pythagore, pour calculer OM²

[invite4cbf5ecc]

J'ai pensé à faire:
OM= racine carré de (xM-xO)²+ (yM-yO)²
0M= racine carré de (a-0)²+ (2a+8-0)²
OM= a+2a+8

C'est bon ?

[Lil00]

J'ai pensé à faire:
OM= racine carré de (xM-xO)²+ (yM-yO)²
0M= racine carré de (a-0)²+ (2a+8-0)²

Jusque là oui.

Mais ça :

OM= a+2a+8

C'est faux.

Restes-en à OM², ça t'évitera de traîner une racine dont visiblement tu ne sais pas te débarrasser !!

Tu dois savoir développer une expression de la forme (x+y)², non ?

[invite4cbf5ecc]

oui: x²+2xY+y²
comme ça ?

[Lil00]

Exactement comme ça.

Donc tu sais simplifier l'expression : (a-0)²+ (2a+8-0)²=??

[invite4cbf5ecc]

comme cela ? :
OM²= (a-0)²+ (2a+8-0)²
OM²= a²-2a+4a²+4a+8+64
OM²= 5a²+2a+72

[Lil00]

comme cela ? :
OM²= (a-0)²+ (2a+8-0)²
OM²= a²-2a+4a²+4a+8+64
OM²= 5a²+2a+72

Les termes en gras sont faux.

Reprends doucement, sans sauter d'étape, en commençant par juste enlever les "-0".

[invite4cbf5ecc]

OM²= (a-0)²+(2a+8-0)²
OM²= a²+(2a+8)²
OM²= a²+4a²+64
OM²= 5a²+64
OM= racine carré 5a²+64

comme ça ?

[Lil00]

OM²= (a-0)²+(2a+8-0)²
OM²= a²+(2a+8)²
OM²= a²+4a²+64
OM²= 5a²+64
OM= racine carré 5a²+64

comme ça ?

Non, il manque un terme dans le développement de (2a+8)²

[invite4cbf5ecc]

OM²= a²+(2a+8)²
OM²= a²+4a²+32a+64
OM²= 5a²+32a+64
OM= racine carré de 5a²+32a+64

[Lil00]

Ouf, on y arrive.

Ensuite, que cherche-t-on ?

[invite4cbf5ecc]

On a donc répondu à la question ? On peut passer à la suivante ? Ou il faut faire autre chose encore ?

[Lil00]

Ben, relis l'énoncé, et vois où tu en es...

[invite4cbf5ecc]

Je pense qu'on a finit la question 1).
Pour la 2) OM est minimale quand OM² est minimale donc quand racine carré de 5a²+32a+64=0

je suis sur la bonne voie ou je pars n'importe comment, selon vous ?

[Lil00]

C'est bien, continue.
Dans l'énoncé, on te dis que OM est minimal quand OM² est minimal, tu peux donc oublier cette racine carrée, qu'il ne sert à rien de trainer !

[invite4cbf5ecc]

alors je peux écrire cela:
OM est minimale quand OM² est minimale donc quand OM²=5a²+32a+64 est minimale.
5a²+32a+64=0 pour a= ?
il faut donc que je résous a=? ??

[Lil00]

Oui, as-tu vu en cours comment on trouvait le minimum (ou le maximum) d'un trinôme ?

PS : je suis désolée, je dois t'abandonner...