Exercice sur les suites, probablement ramassé

[invited5dc3a94]

Bonjour,
Notre professeur de maths nous a donné quelques exercices à faire, mais je bloque à la question 2; voici le sujet:

On note (u_n) et (v_n) deux suites définies pour tout entier naturel par:

u₀ = 3

v₀ = 4

u_n+1 = (u_n + v_n) / 2

v_n+1 = (u_n+1+v_n)/2


Question 1: Calculer les valeurs de u₁, v₁, u₂, v₂

Réponse 1: u₁ =7/2 v₁ = 15/4 u₂ = 29/8 v₂ = 59/16


Question 2: On note (w_n) la suite définie pour tout entier naturel n par: w_n = v_n - u_n

a) Montrer que la suite (w_n) est une suite géométrique et donner sa raison.

Réponse 2a : J'ai commencé par calculer w₀, w₁ et w₂ et j'ai obtenu 1, 1/4 et 1/16.
La raison est donc 1/4, mais après j'ai essayé de prouver ca par récurrence en utilisant la propiété
w_n = w₀ x (1/4)ⁿ et maintenant je bloque. J'ai déjà essayé de trouver d'autres facon
de faire mais rien ne m'a aidé.

Merci d'avance pour tout aide fournie
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[invite8d4af10e]

Bonjour
pour monter que wn = vn - un est géométrique : tu dois calculer wn+1 et l’écrire sous la forme wn+1=qwn

[invited5dc3a94]

merci, j'avais déjà penser à ca, mais j'obtiens
(u_n+1 - u_n) /2 et puis je bloque à nouveau

[invite8d4af10e]

et Un+1=(un + vn) / 2 d’après ton énoncé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5dc3a94]

Effectivement, je m'y retrouve même plus dans mes brouillons
le probleme qui apparait maintenant est le suivant:

en faisant tous ces calculs, je trouve w_n+1 = v_n/2

or, si je prends par exemple n=0 , je trouve à l'aide de la formule Wn = Vn - Un que W1= 1/4
Mais avec ce que j'ai trouver précedeement, Wn+1 = Vn /2 et V0 /2 = 4/2 = 2
Je ne trouve donc pas les mêmes valeurs pour w₀₊₁ , cad w₁

[invited5dc3a94]

faute de calcul, j'ai oublié le /2 lorsque j'ai voulu remplacer u_n+1

[invited5dc3a94]

Après avoir réctifier mon erreur, j'arrive à (v_n- u_n) / 4
soit Vn-Un x 1/4
Merci beaucoup

[invite8d4af10e]

tu peux conclure car tu sais ce que c'est (vn- un)