problème de probabilité avec ordre.

[boisdevincennes]

alors voila, on tire des fleches. la probabilité de toucher A1=1/4, A2=1/8 A3=1/8
il y a 3 lancer. on demande quelle est la probabilité d'atteindre 3x A3
la typiquement c'est une loi binomiale de parametre 3 et 1/3 avec k=3.
Après ça se gate: il y a 2 questions difficiles.
on veut toucher A1, A2 et A3 dans l'ordre et A1, A2 et A3 dans le désordre.
pour l'ordre c'est à mon avis 1/4*1*/8*1/8 puisque les tirs sont indépendants soit P((A1)*P(A2)*P(A3)
dans le désordre par contre je ne vois pas comment faire. peut etre faire un arbre?
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[joel_5632]

alors voila, on tire des fleches. la probabilité de toucher A1=1/4, A2=1/8 A3=1/8
il y a 3 lancer. on demande quelle est la probabilité d'atteindre 3x A3
la typiquement c'est une loi binomiale de parametre 3 et 1/3 avec k=3.

= (1/8)^3
Mais il n'est pas nécessaire d'invoquer une loi binomiale (même si c'est pas faux)

Après ça se gate: il y a 2 questions difficiles.
on veut toucher A1, A2 et A3 dans l'ordre et A1, A2 et A3 dans le désordre.
pour l'ordre c'est à mon avis 1/4*1*/8*1/8 puisque les tirs sont indépendants soit P((A1)*P(A2)*P(A3)

oui

dans le désordre par contre je ne vois pas comment faire. peut etre faire un arbre?

Tu peux faire un arbre, mais plus simplement

Tu veux A1A2A3 ou A1A3A2 ou ... ou A3A2A1 (Il y en a 6)

donc p = 6 * 1/4*1*/8*1/8

[boisdevincennes]

dans le désordre il faut connaitre la formule n! P(A1)*P(A2)*...P(An)
si je comprends bien.
est ce que cela porte un nom?

[joel_5632]

non, faut juste connaître P(A ou B) = P(A)+P(B)
(à condition que A inter B = vide)

[A voir en vidéo sur Futura]

[boisdevincennes]

joel je connaissais ça... mais la formule n! P(A1)*P(A2)*...P(An) fonctionne t'elle?
imaginons que l'on tire dans 4 cible. dans le désordre cela revient bien a 4! (les permutations)*P(A1)*P(A2)*P(A3 )*P(A4)

[joel_5632]

oui, mais c'est un cas particulier de

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A inter B) qui est plus générale

[boisdevincennes]

je suis d'accord avec vous mais je ne vois pas le rapport avec l'exercice que je cherche à résoudre.

[joel_5632]

P(A1A2A3 ou A1A3A2 ou A2A1A3 ou A2A3A1 ou A3A1A2 ou A3A2A1) =

P(A1A2A3) + P(A1A3A2) + P(A2A1A3) + P(A2A3A1) + P(A3A1A2) + P(A3A2A1)

= 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8

= 6 * 1/4*1*/8*1/8

[boisdevincennes]

oui je suis d'accord avec vous. Mais enfin de ne pas en oublier il convient de voir qu'il y en a n!, ça évite aussi de les écrire.

[nicemath]

Bonjour Boisdevincennes,

Comme Joel l'a mentionné précédemment, tu dois avoir chaque cas possible de façon indépendante. Étant donné que tu peux avoir le premier cas OU le deuxième cas OU le troisième cas, etc. Tu dois faire la somme des cas possibles.

De cette manière, tu aura la probabilité qu'un des cas possibles arrive...

Au plaisirs,

[nicemath]

Biensur,étant donné que tu peux les "permuter" aux trois endroits.

[boisdevincennes]

Je devine joel5632 que P(A1A2A3)=P(A1intA2intA3) je ne connais pas votre écriture.
En somme pour cet exerice on peut résumer P(A1intA2intA3)=P(A1)xP(A2)xP( A3)
et P(A1UA2UA3)=3!P(A1)*P(A2)*P(A3 )
les spécialistes apprécieront.

[joel_5632]

Pour moi P(A1A2A3) désigne la probabilité d'atteindre A1 avec la 1ere flèche, A2 avec la 2ème et A3 avec la 3ème

[boisdevincennes]

en effet. pour le coup j'ai du mal à faire la différence entre P(A1intA2intA3) et P(A1UA2UA3)

[joel_5632]

Il se peut que j'ai mal compris l'exercice

Tu demandais la probabilité d'obtenir A1, A2 et A3 dans le désordre. C'est pas très clair. Moi je comprends "dans n'importe quel ordre"

[boisdevincennes]

c'est dans n'importe quel ordre en effet.

[boisdevincennes]

je pense qu'avec 3 flèches on a:
pas d'ordre: p(A1intA2intA3)
dans l'ordre: p(A1A2A3)
et P(A1UA2UA3)pourrait signifier tirer une seule fleche et avoir une des trois cibles.
dans ce cas seuls les 2premieres écritures seraient à retenir (je mérite une nouvelle médaille field?)
http://www.youtube.com/watch?v=kQX4J8g3Kcg

[joel_5632]

donc la probabilité recherchée est bien

P(A1A2A3 ou A1A3A2 ou A2A1A3 ou A2A3A1 ou A3A1A2 ou A3A2A1)

où AiAjAk désigne l'évènement "La 1er flêche atteint Ai, la 2ème Aj et la 3 ème Ak"

=P(A1A2A3) + P(A1A3A2) + P(A2A1A3) + P(A2A3A1) + P(A3A1A2) + P(A3A2A1)

= 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8 + 1/4*1*/8*1/8

= 6 * 1/4*1*/8*1/8

[boisdevincennes]

En quoi cela s'oppose à p(A1intA2intA3)?

[boisdevincennes]

si on part du principe qui p(A1UA2UA3) represente le lancer d'une seule fleche qui tire dans une des 3 cibles alors on peut considerer que par miracle p(A1intA2intA3) représente le lancer d'une seule fléche qui atteindrait les 3 cibles à la fois.=> C'est vrai que l'écriture de joel a le mérite d'etre claire. Si je demande ça c'est au cas ou l'on travaille avec n>3, ou cela devient ingérable d'écrire les multiples cas. Pour 3 il y en a 6, mais pour 4 il y a en a 24, et la ça devient soi ingérable soit débile de tout écrire.