J'ai un DM à rendre pour lundi 21, et à vrai dire, je bloque beaucoup dessus..
1) Soit un réel θ appartenant à ]0,π[. On considère le nombre complexe : Z = (e^iθ+1)/(e^iθ-1)
a) Démontrer que : Z = -i/tan(θ/2)
b) Pour θ appartenant à ]0,π[ quel est le signe de tan(θ/2)?
c) En déduire le module et un argument de Z.
2) Pour tout entier n≥2 on a : Zn = e^(i(π/n)) + e^(i(2π/n))+...+ e^(i(n-1*π)/n
Montrer que pour tout n≥2 on a : Zn = e^(i(π/n)) * (-e^(-i(π/n))-1)/(e^(i(π/n))-1)
3) Déduire des égalités de la question 1 et de la question 4, que pour tout entier n≥2 on a :
Zn = i / tan(π/2n)
4) Pour tout entier n≥2, on pose : Sn = sin(π/n)+sin(2π/n)+...+sin((n-1)π)/n
Déduire de ce qui précède la limite de la suite (Sn) lorsque n tend vers +oo.
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est, de façon évidente, géométrique.