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suites et nombres complexes



  1. #1
    snemed

    suites et nombres complexes


    ------

    Bonjour voila j'ai un exercices a faire et je ne vois pas du tout comment faire pour certaines questions.
    l'énoncer est le suivant :

    on considère les nombres complexes Zn définis, pour tout entiers naturel n, par:
    Z0=1 et Zn=((3/4)+I(racine(3)/4))Zn

    et on note An le point d'affixe Zn.
    1°a)Calculer sous forme algébrique les nombres Z1 à Z6
    2°) pour tout entier naturel n, on pose dn=!Z(n+1)-Zn!
    a)vérifié que pour n>1:
    Z(n+1)-Zn=((3/4)+I(racine(3)/4))(Zn-Z(n-1))
    b) en déduire une relation entre dn et d(n-1)
    c) donner une interprétation géométrique de chacun des nombres dn
    d) On pose

    Ln= [K=0(somme)K=n] AkA(k+1)

    la longueurs de la ligne polygonale de sommets successifs A0, A1,..A(n+1)
    déterminer Ln en fonction de n et la limite de Ln quand n tend vers +oo
    3°pour tout entiers naturel n, pose :
    an=arg(Zn) (2pi)
    a) établir une relation entre an et a(n-1) pour n>1
    b)en deduire an en fonction de n
    c) pour quelles valeurs de n , les points 0.A0et An sont-ils alignés?

    mes réponses son:
    1)a)j'ai calculer Z1a Z6 aucune difficulté
    2)a) j'ai trouver la relation
    b)dn=!((3/4)+I(racine(3)/4))(d(n-1))
    j'en déduis que dn=!d0x((3/4)+I(racine(3)/4))^n!
    c) je ne voyer pas vraiment quelle réponse donner j'ai donc mit les points forme un courbe de forme expo(croissante)
    d) pour cette question je en vois pas du tout comment procéder j'aio essayer de simplifier Ln mais je ne vois pas du tout
    3°a) (pi)/6 +a(n-1)=an (pi)/6 vient du calcul de l'argument
    b)an=n(pi)/6
    c) 0 et A0 sont sur l'axe des réels donc An doit être un réels afin qu'il soit aligné


    voila si quelqu'un pouvait confirmé mes réponse et m'indiqué une direction pour la 2)d)

    merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    personne ne peut m'aidé?ou même confirmé mes réponses ?

  4. #3
    Duke Alchemist

    Re : suites et nombres complexes

    Bonjour.

    2.b. ATTENTION ! dn = |zn+1-zn| donc il ne doit pas y avoir de i dans l'expression entre dn et dn-1.
    Pourquoi as-tu indiqué la relation entre dn et d0. Ce n'est pas spécifié dans l'énoncé (à moins que tu ne l'aies oublié )

    2.c. Que représente géométriquement (dans un repère) la norme d'un complexe (de manière générale) ?

    Je reviens ultérieurement pour la suite

    Duke.

  5. #4
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    merci a toi de m'avoir répondu
    alors pour la 2)b) j'ai effectivement oublié de noté qu'il fallait exprimer dn en fonction de d0 et n
    pour la première partie de la 2)b) a ton le droit de supprimer les i parce qu'il sont en valeurs absolue? ou peut on faire autrement ?

    pour la 2)c) la norme d'un complexe c-a-d sont module est un cercle non? puisque c'est l'argument qui détermine l'angle.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : suites et nombres complexes

    Citation Envoyé par snemed Voir le message
    merci a toi de m'avoir répondu
    alors pour la 2)b) j'ai effectivement oublié de noté qu'il fallait exprimer dn en fonction de d0 et n
    pour la première partie de la 2)b) a ton le droit de supprimer les i parce qu'il sont en valeurs absolue? ou peut on faire autrement ?
    pour la 2)c) la norme d'un complexe c-a-d sont module est un cercle non? puisque c'est l'argument qui détermine l'angle.
    non, tu ne peux pas supprimer les i avant le calcul.

    mais il faut utiliser ton equation Z(n+1)-Z(n)= ...

    sachant la règle pour la norme d'une multiplication.
    si z et z' deux complexes alors :
    Izz'I = IzI*Iz'I

  8. #6
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    ahh oui en faite je confondais ! ! n'était pas valeurs absolut mais module du coup je trouve !Z(n+1)-Zn!=(racine)3/2!(Zn-Z(n-1))!

    et ainsi je trouve Dn=(racine)3/2D(n-1)
    ainsi Dn=Do((racine)3/2)^n
    Dn=1/2x((racine)3/2)^n
    est-ce bon?

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  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : suites et nombres complexes

    Citation Envoyé par snemed Voir le message
    ahh oui en faite je confondais ! ! n'était pas valeurs absolut mais module du coup je trouve !Z(n+1)-Zn!=(racine)3/2!(Zn-Z(n-1))!

    et ainsi je trouve Dn=(racine)3/2D(n-1)
    ainsi Dn=Do((racine)3/2)^n
    Dn=1/2x((racine)3/2)^n
    est-ce bon?
    pour moi , c'est OK, y compris le calcul de do.

  11. #8
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    par contre pour l'interprétation géométrique de dn je ne vois vraiment pas j'ai essayé de la visualisé avec ma calculatrice mais je ne vois pas du tout ce que je peut "interpréter"a part que ca converge vers o

    et pour la 2)d)si tu pouvais m'aider une dernière fois je en vois vraiment pas j'ai essayer de simplifié de plein de façon mais a chaque fois ca ne donne rien la factorisation par (3/4)+I(racine(3)/4) est elle intéressante ?

  12. #9
    Duke Alchemist

    Re : suites et nombres complexes

    Re-
    Citation Envoyé par snemed Voir le message
    par contre pour l'interprétation géométrique de dn je ne vois vraiment pas j'ai essayé de la visualisé avec ma calculatrice mais je ne vois pas du tout ce que je peut "interpréter"a part que ca converge vers o
    Tu as quoi comme calculatrice ? N'oublie pas que ce sont des complexes
    N'y verrais-tu pas un lien avec une longueur (ou une distance). Normalement, c'est ce à quoi fait référence la norme.
    Au fait, c'est ce qu'on retrouve dans la question 2;d

    et pour la 2)d)si tu pouvais m'aider une dernière fois je en vois vraiment pas j'ai essayer de simplifié de plein de façon mais a chaque fois ca ne donne rien la factorisation par (3/4)+I(racine(3)/4) est elle intéressante ?
    Ln ne serait-elle pas la somme des dn tout simplement ? et tu as une suite géométrique... non ?

    Duke.

  13. #10
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : suites et nombres complexes

    re salut ,

    je ne sais pas si tu as déjà placé les premiers Zn sur (i,j).
    pour y voir un peu mieux.

    tu sais certainement que quand on multiplie un complexe par un autre comme là de passer de Z(n ) à Z(n+1) :
    il y a à la fois une incidence sur le module
    et ....sur l'angle .
    c'est cela qu'on te demande decrire.

  14. #11
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message

    Ln ne serait-elle pas la somme des dn tout simplement ? et tu as une suite géométrique... non ?

    Duke.
    et bien je ne vois pas du tout pourquoi Ln serait la somme des Dn puisque c'est la somme de AnA(n+1) soit la somme de ZnZ(n+1) et la je ne vois pas comment retrouver le module de Zn+1-Zn

    et pour l'interprétation géométrique je ne vois toujours pas parce-que je crois que je ne vois pas le lien entre Zn et Dn !Zn+1-Zn!=une longeurs (sans i) donc Dn serait toujours sur l'axe des réels?

    et je ne sais pas si ca peut servir mais on peut trouver l'epression de zn=(3/4+i(racine)3/4)^n
    mais dans l'expression de ln aprés factorisation par (3/4+i(racine)3/4) je me retrouve avec des (Zn-1)2 et des (Zn)2

  15. #12
    Duke Alchemist

    Re : suites et nombres complexes

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par snemed Voir le message
    et bien je ne vois pas du tout pourquoi Ln serait la somme des Dn puisque c'est la somme de AnA(n+1) soit la somme de ZnZ(n+1) et la je ne vois pas comment retrouver le module de Zn+1-Zn
    Chaque point An est défini par son affixe Zn. AnAn+1 représente un segment dont la longueur est dn.

    et pour l'interprétation géométrique je ne vois toujours pas parce-que je crois que je ne vois pas le lien entre Zn et Dn !Zn+1-Zn!=une longeurs (sans i) donc Dn serait toujours sur l'axe des réels?
    Une norme n'a qu'une dimension, rien de bien étonnant à ce que si tu les représentes, tu les places tous sur un même axe

    Duke.

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  17. #13
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonsoir.Chaque point An est défini par son affixe Zn. AnAn+1 représente un segment dont la longueur est dn.

    Duke.
    en effet dans l'énoncer il est marquer que Ln est la longueurs des sommets mais par exemple en remplaçant n par 2 dans l'expression de ln avec la somme on trouve des i ce qui n'est pas possible pour une longueurs c'est la que je ne comprend pas
    mais si on met le modules dans l'expression de ln on a ln= x ca m'étonnerais que ce soit cela comme on a pas de formules pour l'angle a moins que l'on fasse =arg(zn+1-zn)

  18. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : suites et nombres complexes

    il ne faut pas confondre dn = Z(n)-Z(n-1) ( qui est un complexe )et
    IdnI que tu as calculé, qui est une distance donc un réel.
    je t'ai peut êtreinduit en erreur en te disant que c'était OK.
    je parlais de l'evolution des modules.
    et c'est bien la somme des modules qu'on te demande là.
    ( distances entre les sommets )

    et tu peux calculer la somme sigma(IdnI) ..

  19. #15
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : suites et nombres complexes

    je corrige eventuellement.
    dans l'enoncé tu ne dis pas clairement si dn est le module de Z(n)-Z(n-1) ou le complexe.

    en tout cas pour les "distances" c'est forcement les modules.

  20. #16
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    je vois bien comment calculer la somme sigma(IdnI) (c'est une suite géo donc la formule) mais je ne vois pas le lien entre AnA(n+1) et IDnI dans l'ecriture AnA(n+1) il y aura forcement des i alors que IDnI est réél ln n peut pas etre egale a la somme de IDnI
    qu'elle liens ya t'il entre IDnI et AnA(n+1)?

  21. #17
    Duke Alchemist

    Re : suites et nombres complexes

    Bonsoir.

    Pour moi, il est clair que dn = |Zn+1-Zn| est bien un réel qui correspond à la distance (d'où le d) entre le point d'affixe Zn+1 (An+1) et d'afixe Zn (An).

    Ln correspond pour moi à la longueur de l'ensemble des longueurs An+1An d'où ma (trop rapide ?) proposition (Ln est la somme des dn).

    Duke.

  22. #18
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : suites et nombres complexes

    oui, je suis d'accord, dn est bien un réel.
    mais c'est le mot "interprétation géometrique" qui sême un peu le trouble dans ma petite tête.
    l'énoncé n'est pas super clair, à mon gout.

    pour les an:
    se souvenir qu'une multiplication d'un complexe par un autre induit une addition des arguments.
    comme Zn=C*Z(n-1)
    alors arg(Zn)=arg(C)+arg(Z(n-1))

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  24. #19
    Duke Alchemist

    Re : suites et nombres complexes

    Bonjour.
    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    oui, je suis d'accord, dn est bien un réel.
    mais c'est le mot "interprétation géometrique" qui sême un peu le trouble dans ma petite tête.
    l'énoncé n'est pas super clair, à mon gout.

    pour les an:
    se souvenir qu'une multiplication d'un complexe par un autre induit une addition des arguments.
    comme Zn=C*Z(n-1)
    alors arg(Zn)=arg(C)+arg(Z(n-1))
    Donner une interprétation géométrique revient à indiquer ce que représente géométriquement ( )(dans un repère par exemple) la grandeur proposée.
    Si c'est le module d'un complexe, cela représente une longueur (la norme du vecteur associé à ce complexe).
    Si c'est l'argument d'un complexe, c'est un angle (celui entre l'axe des abscisses et le vecteur associe).

    Sinon, pour le reste, je suis d'accord avec toi ansset.

    Duke.

  25. #20
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    pour Ln j'ai donc fait la somme des Dn je trouve
    Ln=[1-(racinede3/2)^(n+1)]/[1-(racinede3/2)]
    la lim est donc 1/[1-(racinede3/2)]

    et pour les an j'ai revérifié je crois que mes calculs sont bon et pour la dernière question comme an=arg(Zn) pour que 0. A0 et An soit aligné il faut que sont module soit égale a pi ou 0 [2pi]
    ca je crois que c'est bon
    en tout cas merci a vous deux pour vote aide et merci d'avoir consacré du temps a mon exercice

  26. #21
    snemed

    Re : suites et nombres complexes

    petite rectification
    ln est en faite égale a [[1-(racinede3/2)^(n+1)]/[2-racinede3]

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