Trouver l'équation d'une tangente

[invite6bf12549]

Bonsoir,

J'ai un exercice de mathématiques que je ne parviens pas à faire....
Alex mesure 1,80 m. Il se trouve devant une sorte de dune de 25 m de hauteur, surmontée d'un bâton de 1 m de hauteur. Cette dune peut se comparer à une courbe d'équation
y= -(x*x)+25.
Il faut déterminer à quelle la distance (minimale) doit se trouver Alex pour voir le haut du bâton.

J'ai trouvé que :
Le sommet S de la courbe a pour coordonnées (0;25)
Le sommet S' du bâton a pour coordonnées (0;26)

Ensuite, il me semble qu'il faut chercher l'équation de la tangente à la courbe et qui passe par S' (appelons la f) (si j'ai bien compris comment résoudre l'exercice) puis déterminer f(x)=1.8

Cependant, je n'arrive pas à trouver l'équation de la tangente.....

Merci par avance si vous pouvez m'aider et bonne soirée
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[gg0]

Bonsoir.

L'idée me semble bonne. Le moyen est de choisir comme inconnue l'abscisse (disons a) du point de tangence. Ecrire l'équation de la tangente en fonction de a (donc 3 lettres, x, y et a), puis en disant que cette tangente passe par le bout du bâton, ontenir une équation d'inconnue a. A r'ésoudre.

Bon travail !

[invite6bf12549]

Bonjour, merci beaucoup mais je n'ai pas très bien compris....ça donnerait quoi comme équation avec trois inconnues ?

[gg0]

Bonjour.

Pour comprendre, il faut le faire.
Et on voit qu'on n'a pas d'équation à trois inconnues, mais successivement une équation de droite avec un paramètre, puis une équation à une seule inconnue.
Mais tant qu'on ne fait pas ...

Si tu bloques en le faisant, je peux réintervenir, mais c'est à toi de faire ton exercice.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bf12549]

Mais en essayant j'arrive à T: y= f'(a)(x-a)+f(a) d'où f'(a)(x-a)+f(a)-y=0 et si on prend S' (0;26) il reste f'(a)(-a)+f(a)=26....et là je suis bloquée

Sinon, il reste y=ax+26....mais je sais toujours pas résoudre.... en fait je crois que je confonds les a (coefficient directeur et celui d'abscisse). Je ne sais pas comment mettre l'inconnue de l'abscisse dans une formule qui me donnerait une équation de droite....

[gg0]

Bonsoir :

f'(a)(-a)+f(a)=26....et là je suis bloquée

Tu n'as pas eu l'idée de remplacer f(a) et f'(a) par leurs expression ? Pourtant tu connais f(x), non ???

Cordialement.

[invite6bf12549]

Non, franchement je ne trouve pas... f'(a) est la dérivabilité de f(a) et pour trouver f(a) je connais par le biais de l'équation mais avec les données que j'ai Je suppose qu'il faut utiliser les coordonnées de B puisque A n'appartient pas à la tangente mais B oui, mais je ne vois vraiment pas comment réinjecter ces données.... peut-on remplacer en disant que B (a, f(a)), donc a=0 et f(a)=26, donc f'(a)=0 ? Non, sinon la tangente serait parallèle à l'axe des abscisses. Non on oublie....
f(x)=-(x*x)-y+25
avec y=f'(a)(x-a)+f(a) (mais est-ce seulement le même y ?)
f(x)=-(x*x)-(f'(a)(x-a)+f(a))+25
f(a)=-(a*a)-(f'(a)(x-a)+f(a))+25
Et là....j'ai dû me tromper quelque part, sûrement une erreur stupide dont je ne me rends pas compte
ou plus simple
f(a)=-(a*a)-y+25
(a*a)-26=25
a=racine de 51...hautement improbable....

Je suis désolée de redemander de l'aide mais j'ai chercher....blanc total !!!

[invite6bf12549]

Bonjour, en fait je crois avoir trouvé un moyen mais je ne suis pas sûre.... Il faudrait chercher si f est dérivable en a :
(f(a+h)-f(a)/h=(-2ah-h*h)/h=-2a-h et limite de tout ça c'est -2a donc f est dérivable en a et f'(a) = -2a

f'(a)(-a)+f(a) = 26
(-2a) (-a) +(-a*a+25)=26
(a*a) =1
a=1

donc f'(a)= -2a =-2, f(a)=-(a*a)+25 = 24 et l'équation de la tangente T à la courbe C qui passe par S' est -2x+26

On pose ensuite T(x) = 1.8 et x = 12.1

ALex doit se mettre à 12.1 m du milieu de la dune, donc à 12,1 - 5 = 7,1 m du bord de la dune (car si f(x) = 0 alors x=5)

[gg0]

Tu te compliques la vie !

f est connue : C'est la fonction dont la courbe a comme tangente la droite. Comme la courbe a pour équation y= -x²+25, f(x)=-x²+25 et comme tous les polynômes sont dérivables, et que tu connais les formules de dérivation, f'(x)= ...
Ensuite, f(a) et f'(a) sont connus (on remplace x par a !!), et tu obtiens une équation qui est bien celle que tu as écrite : a²=1.
Attention, il y a deux solutions ...

Je n'ai pas vérifié la fin de tes calculs.

Cordialement

[invite6bf12549]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour l'aide très précieuse...
effectivement deux solutions et un moyen bien plus simple et efficace !!!!

Bonne soirée et encore merci