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Aire sous la fonction exponentielle 0<=x<=1



  1. #1
    ScopeFater

    Aire sous la fonction exponentielle 0<=x<=1

    Salut je suis un élève de terminale S, on vient de commencer les intégrales avec notre prof de maths et je me demandais quelle était l'aire sous la fonction exponetielle sur l'intervalle [0;1], j'ai fait ça mais je bloque:
    Soit n>=1
    et k<=-1
    je prends deux points M et N d’abscisses respectives k/n et (k+1)/n
    l'aire A d'un rectangle par excés est: ((k+1)/n-k/n)*exp((k+1)/n)
    soit A= exp((k+1)/n)/n
    Soit Sn la somme des Aires pour k allant de 0 à n-1
    Sn= A1+A2+A3+...+An-1
    Sn= exp(1/n)/n+exp(2/n)/n+exp(3/n)/n+...+exp(n/n)/n

    Après je fais Sn*exp(1/n)=exp(2/n)/n+exp(3/n)/n+...+exp(n/n)/n+exp((n+1)/n)/n

    Je fais alors:
    Sn*exp(1/n)-Sn=exp((n+1)/n)/n- exp(1/n)/n
    Sn(exp(1/n)-1)=[exp((n+1)/n)-exp(1/n)]/n
    Sn=[exp((n+1)/n)-exp(1/n)]/(n*(exp(1/n)-1))

    Et là j'utilise un calculateur de limites (à l'infini) sur internet, ça ne me donne pas de résultats, et quand j'écris la fonction sur ma calculette ça me met une erreur encore jamais vue hahaha! Pouvez-vous m'aider?

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Aire sous la fonction exponentielle 0<=x<=1

    C'est ton dénominateur qui te fiche dedans car c'est une forme infini x zéro vu que exp(1/n) tend vers 1 quand n tend vers infini.
    Il y a des méthodes qui montrent que le dénominateur tend vers 1.

  4. #3
    ScopeFater

    Re : Aire sous la fonction exponentielle 0<=x<=1

    C'est bon, le résultat est 1.718, j'ai du mal écrire au début!

  5. #4
    Ptitnoir-gris

    Re : Aire sous la fonction exponentielle 0<=x<=1

    Salut

    Conseil : Fais un dessin de la fonction f(x)=exp(x) entre 0 et 1 ( avec une "grande" échelle pour l'axe des x ) avec par exemple n=2 puis n=3 puis n=4 , ..etc...

    et compare la somme des aires de tous les rectangles (qui sont dessinés en fonction de n)

    avec calcul du nombre quand n tend vers +infini ( limite qui est égale à )
    Dernière modification par Ptitnoir-gris ; 11/02/2013 à 20h17.

  6. #5
    S321

    Re : Aire sous la fonction exponentielle 0<=x<=1

    Citation Envoyé par ScopeFater Voir le message
    C'est bon, le résultat est 1.718, j'ai du mal écrire au début!
    Non, ça c'est une approximation du résultat, mais ce n'est pas le résultat. Sauf indication contraire on demande des résultats exacts en maths. De plus demander une limite à votre calculatrice ce n'est pas faire une démonstration. Vous ne faites que balancer un résultat (faux) sans justification, je vois mal un prof vous donner des points pour une telle réponse à une question ^^.

    Vous dites que vous venez juste de commencer les intégrales ce qui fait qu'il est difficile de savoir pour nous quelles sont les théorèmes à votre disposition. J'imagine que vous n'avez pas vu de théorème vous permettant directement de calculer sinon en passant par une somme de Riemann, il vous faut démontrer vers quoi converge votre somme.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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