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Aire d'un polygone régulier



  1. #1
    The_Anonymous

    Talking Aire d'un polygone régulier

    Bonjour ou bonsoir tout le monde !

    Je me retrouve aujourd'hui avec une petite démonstration sur les bras, même après des recherches, je ne trouve pas d'aide, peut-être pourrez-vous me combler

    Voici l'énoncé :

    "Montre que l'air d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1 est de (n/2)(sin(2pi/n))."

    Je pensais à une démonstration rigoureuse avec des calculs comme j'aime, c'est-à-dire des équations arrivant au résultat, mais de ce que j'ai vu, il n'y a pas d'autre moyen d'y arriver que par des faits géométriques sur le cercle...

    Pouvez-vous éclairer ma lanterne s'il vous plaît?

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    danyvio

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Découpe ton cercle en autant de triangles isocèles que de côtés du polygone, avec pour sommet le centre du cercle, et pour bases les côtés du polygone. Dessine dans chaque triangle (ou seulement dans 1,le calcul étant valable pour tous) la hauteur issue du sommet. Puis ... à toi de jouer avec Pythagore notamment...les sinus.. cosinus..
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Un théorème bon à savoir est que l'aire du triangle ABC est égale à 1/2 AB.AC. sin(A)
    Ca s'applique directement à ton cas.

  5. #4
    The_Anonymous

    Red face Re : Aire d'un polygone régulier

    Il me semble avoir trouvé la preuve jusqu'au bout (en j'en suis assez fier ) ...

    On a donc le cercle de rayon 1 de centre A avec notre polygone à n côtés.

    Traçons tous les segments reliant A aux sommets du polygone.

    Soit B et C deux extrêmités d'un côté. On a un triangle ABC, isocèle en A.

    O sait que [AB] = [AC] = 1, car le rayon du cercle est de 1.

    Soit D le pied de la hauteur passant par A. On obtient un triangle ABD rectangle en D.

    On sait que l'angle(BAD) = 360/2n = 180/n = pi/n.

    Par un certain théorème, on a donc que angle(ABD) = 180 - (90 + pi/n) =

    Ensuite, par le théorème du sinus, on a que . Donc, .

    On en déduit que

    Et que (la dernière égalité par une certaine propriété).

    ( Ce passage ne sert à rien :

    On voit que nous sommes sur la bonne voie en vérifiant grâce à Pythagore : on a que (par une certaine propriété).

    Je trouvais juste amusant de le notifier )

    On veut donc trouver l'aire du triangle ABC, pour le multiplier par n triangles isométriques pour trouver l'aire du polygone.

    On a aire(ABC) = (la dernière égalité par la duplication des arguments (où x=y)).

    Finalement, en multipliant par n, on obtient

    .

    La propriété est donc prouvée, démontrée!

    Merci d'avoir lu, j'espère qu'elle est juste, j'ai passé beaucoup de temps à la rédiger...

    Cordialement,

    Brazeor
    Dernière modification par The_Anonymous ; 16/02/2013 à 15h40. Motif: :-)

  6. #5
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    P.S. : Oui j'ai remarqué que je me suis complètement compliqué la vie : pour calculer angle(ABD) = pi - pi/2 - pi/n = pi/2 - pi/n

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Je dois maintenant calculer .

    Et là, je bloque...

    De l'aide s'il vous plaît?

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  10. #7
    jamo

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Bonjour
    utiliser lim sin (x)/x->1 quand x->0 avec le changement de variable qui va bien dans ton cas .

  11. #8
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Merci de l'aide

    Sauf que je ne comrpends pas très bien... Sin(x)/x ... (j'ai déjà fait la preuve, je comprends...) mais dans mon cas, j'ai 2pi et n... Comment fait-on, ce n'est pas la même valeur... Et en plus x->0 or dans mon cas x-> infinity...

    Je comprends pas le lien... (Et je ne sais pas ce qu'est le changement de variable)...

  12. #9
    jamo

    Re : Aire d'un polygone régulier

    si tu pose x=.../n quand n->+00 ....
    je ne peux plus sinon c'est .........

  13. #10
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Ouhla! Je m'accroche pour comprendre....

    x= .../n euh... Les trois petits points, c'est quoi...?

    Je ne peux plus sinon c'est ... : j'ai RIEN compris! Je ne sais pas si c'est des indications par signes subliminaux, mais si tu pouvais être un peu plus clair... J'ai déjà du mal avec les limites, alors si en plus c'est en devinette...

    Des éclaircicements clairs, s'il vous plaît?

  14. #11
    jamo

    Re : Aire d'un polygone régulier

    le but est de se ramener à une limite connue , en l’occurrence lim sin (x)/x->1 quand x->0
    tu as n au dénominateur , quand n->+00 , 1/n ->0
    elle est où l'expression , elle n'y est plus à moins que je sois myro

  15. #12
    gg0

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Tout produit dont un terme est non nul peut être vu comme un quotient. Si B est non nul, AB=A/(1/B).

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  17. #13
    The_Anonymous

    Question Re : Aire d'un polygone régulier

    Si je comprends bien ce que vous me dites (en fait surtout gg0 (désolé jamo...)), on a :

    .

    Mais à quoi cela amène?

    Je sais bien que la limite est , mais je ne sais pas comment y arriver...

    C'est ce "sin" en fait qui m'énerve...

  18. #14
    The_Anonymous

    Lightbulb Re : Aire d'un polygone régulier

    Après avoir bien cherché, il semblerait qu'il faut poser n/2 = m ou n= 2m, pour simplifier la chose...

    (Dites-moi si ce n'est pas la bonne méthode)

    On aurait .

    Ça a l'air mieux, mais je ne vois toujours pas à quoi cela sert, où cela va-t-il aboutir…

    Merci d'avance pour votre précieuse aide

  19. #15
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Après avoir énormément cherché, il semblerait qu'on ait :

    .

    Ensuite, on a :

    .

    Mais, incompréhension, je ne sais pas si on a le droit de multiplier, pour trouver une limite, par une expression égal à 1. Par exemple, je me demandais si ...

    Finalement, .

    Et donc la limite est de pi...

    Donc voilà, il me semble avoir trouvé la preuve, mais j'ai ce sujet d'incompréhension, merci déjà pour vos explications
    Dernière modification par The_Anonymous ; 17/02/2013 à 02h13. Motif: :-)

  20. #16
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Bon, je ne peux plus edit, désolé pour ce nouveau post...

    J'ai résolu moi-même mon incompréhension, tout simplement parce que !

    Donc désolé, il me semble avoir compris...

    Dites-moi juste si ma preuve est correcte !

  21. #17
    jamo

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Bonjour
    on pose x=2Pi/n quand n->+00 , x->0
    d'où
    n/2sin(2Pi/n)=(sin(2Pi/n)/2Pi/n)*Pi=(sin(x)/x)*Pi
    comme sinx/x->1 quand x->0 , donc lim n/2sin(2Pi/n) ->Pi quand x->+00
    Hope helps

  22. #18
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Sure that helps! Thanks

    Merci beaucoup pour toutes vos réonses

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  24. #19
    mécano41

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Bonjour à tous,

    sinon, il y a ceci :

    Avec n = nb de côtés, et vecteurs unitaires représentant deux rayons passant par deux sommets consécutifs et l'angle , on a :

    Aire de OAB = avec et

    d'où Aire de OAB =
    et pour les n triangles : Aire =

    Cordialement

  25. #20
    The_Anonymous

    Re : Aire d'un polygone régulier

    Je préciserai que je n'ai pas encore traîté les vecteurs, je n'ai donc aucune idée quant à ton message...

    Cordialement

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