Nombres complexes

[Alex0088]

Bonjour,
Je sollicite votre aide car je n'arrive pas à comprendre une méthode, en effet j'ai plusieurs exemples où je dois trouver les parties réelles et imaginaires de complexes, je vous montre donc les exemples que j'ai à disposition:
S=i5 +i6 +i7 +...+i182 Re(S)=-1 Im(S)=1
S=i15 +i16 +i17 +...+i160 Re(S)=1 Im(S)=-1
S=i3 +i4 +i5 +...+i109 Re(S)=1 Im(S)=0
Etc,etc.. J'ai pensé à me servir de la fonction "suite" de ma calculatrice mais je n'ai pas réussis, je rentre surement de mauvaises informations..
Je vous remercie par avance de votre aide,
Alex.
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[jamo]

Bonjour
tu cherches à calculer S=i5 +i6 +i7 +...+i182 ?
si oui , tu écris :
S=i(5+6+7+.................+18 2)
et (5+6+7+.................+182) tu sais le calculer car suite ........
Ps : si je suis bien réveillé

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Bizarrement, j'opte plus pour des puissances de i (donc des séries de termes géométriques dont la raison est i).
Non ?

Duke.

[jamo]

Bonjour Duke
je ne vois pas les puissances de i

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Moi non plus je te rassure mais je pense que Alex008 a voulu écrire (sans savoir comment faire) :
S = i⁵ + i⁶ + i⁷ +... + i¹⁸²
Et là, sur le coup les parties réelle et imaginaire qui suivent s'expliquent mieux.

Il faut attendre une confirmation ou une infirmation de la part d'Alex008.

Duke.

[gg0]

Je trouve qu'il est un peu "léger" : Non seulement il écrit un message mal écrit, mais il ne vient pas voir ...

[Alex0088]

Excusez moi pour le temps que j'ai mis à répondre, oui c'est effectivement des puissances de i que j'ai mal écrit

[gg0]

Donc tu as eu une réponse (Duke Alchemist) et il ne te reste plus qu'à appliquer la formule de la sommes des termes d'une suite géométrique.

Bon travail !

[danyvio]

C'est beaucoup plus simple puisqu'il s'agit de séquences répétitives i -1 -i +1 Le résultat dépend simplement du terme de départ et du terme d'arrivée

[Alex0088]

Oui, merci à vous !

[Alex0088]

Bonjour, j'ai beau essayer avec la méthode de somme d'une suite je ne trouve pas le bon résultat...
En effet pour S=i⁵ +i⁶ +i⁷ +...+i¹⁸² je suis censée trouver: Re(S)=-1 Im(S)=1
Or, S= (n*(u1+un))/2
S= 177*(i⁵+i¹⁸²)/2
S= -88.5+88.5i
Donc Re=-88.5 et Im=88.5
?

[jamo]

Bonjour, j'ai beau essayer avec la méthode de somme d'une suite je ne trouve pas le bon résultat...
S= 177*(i5+i182)/2

Bonjour
à ton avis c'est quel type de Suite ?

[Alex0088]

Du coup je dirais géométrique mais la raison est de 1, mon dénominateur sera donc nul puisque la formule est S=u0*(1-q^(n-1))/(1-q)

[jamo]

Du coup je dirais géométrique mais la raison est de 1

c'est pas la Loterie , de mieux en mieux pour la raison
pour aller de i5 à i6 , tu fais quoi ?

[Alex0088]

Ah mince la raison est i ^^'
Du coup j'obtiens i⁵*(1-i¹⁷⁷)/(1-i) et Re=-1.35*10^-12 Et Im=1

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Ah mince la raison est i ^^'

Comme je l'avais dit au message #3...

Du coup j'obtiens i⁵*(1-i¹⁷⁷)/(1-i) et Re=-1.35*10^-12 Et Im=1

Problème avec la puissance de i au numérateur.
Et c'est quoi cette valeur pour Re(S) ? Tu dois trouver -1 (ce que je trouve en passant )

Après il faut se souvenir de "la périodicité" de i^k comme l'a fait remarqué danyvio :

 Cliquez pour afficher

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
i⁵ = i...
Oh ben tiens, ça recommence de la même manière...
i⁵ comme i...

Duke.

[Alex0088]

Oui je suis censée trouver -1, je trouve ce résultat en utilisant 182 en puissance de i mais la puissance représente normalement le nombre de termes et il y en a 177...

[Alex0088]

Et sur mes autres exemples ça ne marche pas non plus... U_u

[Duke Alchemist]

Re-

Je te guide pour la première :
S = i⁵ + i⁶ + i⁷ + ... + i¹⁸²
Suite géométrique dont le premier terme est

 Cliquez pour afficher

... i⁵

et la raison

 Cliquez pour afficher

... i

Donc cette somme s'écrit aussi

 Cliquez pour afficher

Comme indiqué précédemment (la fameuse histoire de périodicité ou de modulo si tu veux) :
i⁵

 Cliquez pour afficher

= i¹ = i

et i¹⁷⁸

 Cliquez pour afficher

= i¹⁷⁶⁺² = i¹⁷⁶ i² = i² = -1
car i¹⁷⁶ = i⁴ = 1

Donc S s'écrit sous la forme

 Cliquez pour afficher

En simplifiant l'expression en multipliant par le conjugué du dénominateur au numérateur et au dénominateur, tu obtiens

 Cliquez pour afficher

S = i-1

d'où le résultat attendu.

Duke.

[danyvio]

Comme je le disais modestement dans le post #9 il s'agit de séquences répétitives i -1 -i +1.

Quatre éléments consécutifs ont toujours pour somme zéro, quel que soit l'élément commençant le groupe de quatre.
Une petite divison du nombre total d'élément par 4, appréhension du reste :
si le reste est 0 on a un nombre entier de "paquets" de 4 éléments donc somme = 0
si le reste est 1 , il y a un +1 en résidu alors somme = 1
si le reste est 2 il y a : +1 et i en résidu alors ...
Il n'est pas utile de se compliquer la vie avec une somme de série.

[Alex0088]

Cette fois j'ai compris !
Merci à vous tous pour votre patience