factorisation d'un polynôme de troisième degrés

[invite96ece8dc]

Bonjour à tous :


voila j'ai un problème avec un exercice qu'on m'a donné a faire:

je doit résoudre dans C ensemble des nombres complexes l'équation z^3-4z^2+14z-20

donc je sais qu'il faut que je factorise mais je n'y arrive pas donc si vous pouvez m'aider en m'expliquant la méthode a suivre


merci d’avance
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux remarquer que 2 est racine évidente, donc tu peux commencer par factoriser par z-2.

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Une remarque complémentaire z³-4z²+14z-20 n'est pas une équation c'est un polynôme. Vous pouvez dire que vous devez résoudre dans ℂ l'équation z³-4z²+14z-20=0 ou que vous devez chercher les racines dans ℂ du polynôme z³-4z²+14z-20.

[invite96ece8dc]

merci,

j'ai essayer mais en développement je ne retombe pas sur la même expression :

(z-2)(z^2-4z+6) je sais que ce n'est pas la bonne réponse mais je comprend pas comment on y arrive si vous avez une méthode ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d4af10e]

puisque 2 est une racine de l'équation ; il suffit d’écrire ton polynôme (z-2)(az²+bz+c)
il faudra développer , et dire que c'est égal à z^3-4z^2+14z-20 , ça te permettra de trouver a , b et c .

[inviteaf48d29f]

Il y a une méthode qui permet de déterminer les coefficients sans les "deviner".

Vous savez que z³-4z²+14z-20 se factorise par (z-2) et par un polynôme du second degré, visiblement vous ne savez pas lequel mais vous pouvez déjà l'écrire az²+bz+c.

Donc z³-4z²+14z-20=(z-2)(az²+bz+c)
une fois que vous avez écris ça vous pouvez redévelopper l'expression de droite pour identifier les coefficients en z³, en z², en z ainsi que la constante. Ça va donne quatre équations pour seulement trois inconnues, c'est bien plus que nécessaire.

Edit : Zut, doublé.

[jacquolintégrateur]

Bonsoir
Quelque soit l'équation du troisième degré: z³+bz²+cz+d=0, tu commences par effectuer le changement de variable: y=z+b. L'équation en y ne contient plus de terme du second degré. Elle a la forme y³+py+q=0 dite "canonique". p et q sont calculés en fonction des coefficients d'origine lors de la transformation. Ensuite, tu effectues le changement de variable: y=u+v, ce qui, en développant le terme cubique (u+v)³ et regroupant convenablement les termes, te donne deux relations qui définissent la somme et le produit: u³+v³ et u³v³ en fonctions explicites de p et q. Cela te permet d'écrire une équation du second degré qui te donne u³ et v³, selon une procédure très classique du niveau de terminale ou 1er S. Ensuite, tu termines en extrayant les racines cubiques (il y en a trois, dans le plan complexe) que tu combines pour obtenir les racine de l'équation canonique d'où tu remontes aisément aux racines en z.
Bon courage.
Cordialement.

[jacquolintégrateur]

mille excuses: la transformation est z=y-b/3. Dans ton cas: z=y+4/3.

[invite621f0bb4]

Je pense que les méthodes présentées plus haut sont plus celles attendues en TS, en tout cas nous avons toujours procédé comme ça cette année.

[invite96ece8dc]

j'ai développé mais je pense avoir fait une erreur mais je n'arrive pas a la trouver


(z-2)(az^2+bz+c)= az^3+bz²+zc-2az²+2bz+2c
=z^3-4z^2+zc-4z+2c
donc a=1
b=-2
c=10

donc la factorisation serait (z-2)(z^2+(-2z)²+10)

est ce juste ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

donc la factorisation serait (z-2)(z^2+(-2z)²+10)

... Tu veux plutôt dire :

est ce juste ?

Et ben développe et tu auras par toi-même la réponse à ta propre question

[invite96ece8dc]

Pour moi c'est juste mais j'avais peur de faire des erreurs de calcul en tout cas je vous remercie pour votre aide