[TS+] Exercices sympas.

[invite2c46a2cb]

Ah d'accord, je comprends mieux comme ça, merci !
Pour moi, l'inégalité triangulaire, c'était juste le fait qu'un côté d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres côtés, du coup je connaissais pas le rapprochement avec vecteurs / espaces métriques, on utilise jamais ce genre de choses au lycée..
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[invite2c46a2cb]

Bonsoir !
Je tenais à vous faire partager une petite énigme que j'ai croisé aujourd'hui dans le concours Kangourou des Mathématiques.
En fait c'est pas tellement d'un niveau TS+. A mon avis, à n'importe quel âge (ou presque) on peut la résoudre, il suffit de trouver le "truc".
Petite précision, ma prof de maths n'a elle-même pas trouvé, huhu (et moi non plus d'ailleurs, comme beaucoup).

Allez je balance: 40 garçons et 28 filles, main dans la main, forment un grand cercle. Exactement 18 garçons donnent leur main droite à une fille. Combien de garçons donnent leur main gauche à une fille ?
Normalement il y a des propositions, mais elles n'aident en rien.
Sachez que le concours se compose, à la base, de 26 questions à faire en 50 minutes, donc, normalement, vous ne devez pas réfléchir trop longtemps !

Bonne chance !

[Seirios]

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Ce n'est pas tout simplement 18 ?

[invite2c46a2cb]

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Si ! J'exige un raisonnement ! ^^

[invite427a7819]

Héhé... j'ai trouvé =D

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C'est en effet 18 ! Il y a 18 bonshommes qui donnent leur main droite à une fille, les 22 autres donnent donc leur main droite à un garçon. Cela fait 22 garçons qui donnent leur main gauche à un garçon : il en reste 18 pour tenir la main à ces dames.

J'suis fier de l'avoir vu, quand même =D

Pour ma part, j'aimerais vous proposer de montrer le principe de récurrence. Sans utiliser de récurrence, bien sûr... Donc tout raisonnement à base de "oui, alors, puis que c'est vrai pour 0, alors c'est vrai pour 1, donc c'est aussi vrai pour 2, et ainsi de suite..." est à exclure puisque c'est le principe même de la récurrence.

Pour formaliser les choses et fixer les idées, on peut définir le principe de récurrence ainsi :




Je vous recommande d'utiliser un raisonnement par l'absurde.

[invite2c46a2cb]

Rooh, c'est plus drôle si c'est des gens comme vous qui répondent ! M'enfin bien joué. ^^

Euh c'est l'inverse hein ?
""
En tout cas ça parait tellement évident, que ça semble difficile à démontrer.. M'enfin j'essaye de plancher dessus !

[Seirios]

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C'est en effet 18 ! Il y a 18 bonshommes qui donnent leur main droite à une fille, les 22 autres donnent donc leur main droite à un garçon. Cela fait 22 garçons qui donnent leur main gauche à un garçon : il en reste 18 pour tenir la main à ces dames.

J'suis fier de l'avoir vu, quand même =D

Tu remarqueras que le résultat ne dépend pas du nombre de filles ou du nombre de garçons : le nombre que tu as au début sera toujours le même qu'à la fin. Voici un petit raisonnement où cela est plus évident :

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On fait un petit schéma pour représenter la situation : on a un cercle avec des arcs coloriés en bleu correspondant aux emplacements des garçons et d'autres coloriés en rouge pour les filles. L'énoncé nous dit que si l'on parcourt le cercle dans le sens antihoraires (à supposer que les enfants fassent face à l'intérieur du cercle), alors on va passer 18 fois du bleu au rouge. La question est alors de compter le nombre de fois où l'on passe du rouge au bleu.

Au final, on nous dit que si l'on compte les extrémités gauches des zones coloriées, il y en a 18, puis on nous demande de compter les extrémités droites. Seulement, compter les extrémités gauches ou droites, c'est la même chose, puisque chaque zone coloriée possède une extrémité droite et une extrémité gauche. Ce nombre est donc le même que celui qui nous est donné, 18.

Les nombres de filles et de garçons n'interviennent donc pas du tout.

[Seirios]

Euh c'est l'inverse hein ?
""
En tout cas ça parait tellement évident, que ça semble difficile à démontrer.. M'enfin j'essaye de plancher dessus !

Pas du tout ! Tu devrais bien relire la proposition.

[invite427a7819]

Non, non, c'est bien ce que j'ai écrit. Quand vous faites une récurrence, vous supposez bien que la propriété est vraie à un certain rang, et vous essayez de vous servir de cette hypothèse pour la montrer au rang suivant ? Cela correspond à ce que j'ai écrit.

Si vous préférez, quitte à translater l'indice, cela peut se réécrire :



Mais le principe reste le même : on augmente le rang, on ne le diminue pas.

[invite2c46a2cb]

Oula d'accord, mille excuses..
Dans ma tête, j'avais "Si P(0) est vraie et si P est héréditaire, alors P(n) est vraie"
J'ai résumé le "P est héréditaire" à "P(n+1) est vrai", tout en lisant profondément mal la proposition, vu que je l'ai réduite à une seule ligne..
*Heureusement que ma prof ne sait pas que je suis là*

[Seirios]

Cela dit, le propriété P ne peut pas non plus être quelconque (sinon, il est possible d'aboutir à des paradoxes), et en toute rigueur, on a besoin du schéma de compréhension de ZF.

Par conséquent, pour éviter ces subitilités, j'aurais plutôt tendance à formuler l'exercice différemment (je le mets sous spoiler parce qu'il donne une indication sur la solution au problème tel qu'il a été formulé par Elwyr) :

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Soit un sous-ensemble de . Supposons que , et que pour tout , si alors . En déduire que .

[invitebbd6c0f9]

Bonjour à tous, je m'invite dans la discussion!

Je tenais, petit élève que je suis, à vous faire partager la démonstration par l'absurde que nous avons vu pour prouver le principe de récurrence, elle est sûrement incomplète ou pas tout à fait juste techniquement, mais devrait être plus ou moins correcte .

Je vous la mets en spoiler, je ne sais pas pourquoi, mais j'ai envie de tester rien qu'une fois

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Supposons que tel que est faux.
On considère :

.

Par hypothèse, .

On peut donc trouver le plus petit élément de (il existe car ).

On a donc est faux (car ), et est vrai (car ), contradiction avec l'hypothèse que si est vrai, alors est vrai (en utilisant que car est vrai).

Voilà, j'espère qu'elle vous aura plu!

D'ici là, je vous souhaite une bonne continuation.

Cordialement,

Brazeor ^_^

[Seirios]

C'est également la preuve que j'avais en tête. Pour faire le lien avec les subtilités de la preuve dont je parlais, voici une remarque sur ta preuve :

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Tu définis l'ensemble , mais tu ne sais pas s'il s'agit vraiment d'un ensemble ! Cela peut sembler curieux, mais prends la proposition " est fausse". Alors si, et seulement si, , et on aboutit donc à une absurdité.

Pour remédier à ce genre de problème, il faut connaître un peu de théorie des ensembles, on peut alors se placer dans le cadre des axiomes ZF et invoquer le schéma de compréhension ; cela nécessite que soit la seule variable libre de (dans l'exemple ci-dessus, est une autre variable libre de ).

[invitebbd6c0f9]

M'wokay.... J'ai pas tout compris, je crois que je vois à peu près le truc, merci en tous cas pour la réponse!

Cordialement

[invite7fa3b928]

http://www.dailymotion.com/video/xyd...s#.UVHzwm_s98E
Petite énigme de Cédric Villani pour le monde.fr , assez sympathique mais qui en réalité n'est pas si difficile si vous visualisez bien le problème.

[Seirios]

Ce n'est pas un mauvais exercice en effet. Pour ma part, j'ai trouvé palindromes à 351 chiffres, avec une différence minimale de entre deux d'entre eux.

[invite7fa3b928]

Pour ma part, j'ai trouvé palindromes à 351 chiffres, avec une différence minimale de entre deux d'entre eux.

Yep, j'ai trouvé pareil, j'avais bien aimé le côté symétrie de la construction dont la solution découlé rapidement