[TS+] Exercices sympas.

[iamkepl]

Bonjour,

J'ai découvert dans les archives de ce forum de nombreux topics où des exercices plus difficiles étaient proposés aux élèves de TS. Je propose donc de faire renaître ce concept, en créant un topic où tout le monde pourra poster des exercices sympas et pour que l'on puisse ainsi partager nos méthodes, ...

Voici pour commencer deux exercices assez classiques :

Point fixe.

Soit une fonction continue sur . Montrer que admet au moins un point fixe, i.e. qu'il existe tel que .

Équation dans .

Trouver les couples d'entiers strictements positifs tels que et .
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[iamkepl]

Bonsoir à tous,

Personne n'est intéressé par les exercices sympas ?

[L-etudiant]

Salut,

si moi ! Mais je sais pas quoi donner comme exo niveau TS... Deja les tiens c'est plus que limite !
Attention, je suis pas contre ! Au contraire !

Sinon ca te convient ca ?

Soit G un groupe commutatif. Montrer que l'ordre d'un produit est le produit des ordres.

@+

[Seirios]

Personne n'est intéressé par les exercices sympas ?

Personnellement, j'ai toujours aimé les posts en TS+, les exercices y étaient souvent intéressants. Malheuresement, le petit groupe d'élèves de terminale et de prépa qui posait et résolvait ce genre d'exercices (pour le plaisir) il y a quelques années, ne s'est pas renouvelé, et maintenant ce genre de post (très intéressant pourtant) manque d'audience.

Soit G un groupe commutatif. Montrer que l'ordre d'un produit est le produit des ordres.

Je pense que iamkepl demande plutôt des exercices portant sur le programme de terminal, mais d'un niveau prépa.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Comme exercice TS+, je pense à une question qui a été posée il y a pas très longtemps sur le forum : Montrer que les solutions de l'équation différentielle s'annulent en une infinité de points ; montrer que les solutions non identiquement nulles de l'équation différentielle s'annulent au plus une fois sur .

Ce ne sont pas des questions faciles pour un niveau TS+, mais leurs résolutions n'utilisent que des résultats de bases sur les fonctions réelles.

[Samuel9-14]

Perso je suis en TS et je ne sais pas ce qu'est une équation différentielle (peut-être un manquement à ma culture scientifique mais en tout cas, pas vu en cours ^^).

Sinon pour l'exercice du point fixe, y-at'il un lien avec le théorème de la valeur intermédiaire ?
On appellerait g la fonction f(x)-x et on démontre qu'il existe une unique solution pour g(x)=0...
Mais je vois pas comment prouver que f(x)-x s'annule nécessairement sur [0;1], peut-être en jouant avec les vairations de f ou de g...

[L-etudiant]

Je pense que iamkepl demande plutôt des exercices portant sur le programme de terminal, mais d'un niveau prépa.

C'est quoi "niveau prepa" ? L1 / L2 ? (J'ai pas fait prepa au cas ou...)

[Samuel9-14]

"En règle générale :
- Un premier semestre est égal à 30 crédits ECTS.
- Une année de prépa équivaut à 60 crédits (2 semestres), ce qui vous permet d’intégrer directement une L2.
- Deux années de prépa complètes validées vous permettent d’obtenir 120 crédits et de bifurquer directement vers une L3."

[The_Anonymous]

Je me prendrais bien au jeu, mais je ne sais pas trop sur quels sujets les exercices pourraient porter...

Pouvez-vous me préciser rapidement les principaux sujets de "TS+"?

[Samuel9-14]

Il me semble que l'idée est justement de poster des sujets qui nous paraissent d'un niveau post-terminale mais qui n'utilisent que du programme de terminale. Ensuite la résolution se fait "ensemble" (enfin pas vraiment puisque beaucoup ici sont capables de les faire je pense, mais les élèves comme moi essayent de le faire ou proposent des pistes etc...)

[Seirios]

Un problème que j'ai eu en spé math en terminal et dont la résolution astucieuse m'avait étonnée :

Résoudre dans le système suivant : .

Et puis, pour la forme, une série de questions sur les limites de fonctions :

1) Si , a-t-on nécessairement ?
2) Si , a-t-on nécessairement ?
3) Si , a-t-on nécessairement ? Et si l'on remplace par ?
4) Si et f périodique, que peut-on dire de f ?
5) Si , a-t-on nécessairement ?

[Seirios]

Perso je suis en TS et je ne sais pas ce qu'est une équation différentielle (peut-être un manquement à ma culture scientifique mais en tout cas, pas vu en cours ^^).

C'est simplement une égalité qui est vérifiée par la fonction y faisant intervenir y et ses dérivées.

Sinon pour l'exercice du point fixe, y-at'il un lien avec le théorème de la valeur intermédiaire ?
On appellerait g la fonction f(x)-x et on démontre qu'il existe une unique solution pour g(x)=0...
Mais je vois pas comment prouver que f(x)-x s'annule nécessairement sur [0;1], peut-être en jouant avec les vairations de f ou de g...

Tu es sur la bonne voie.

[L-etudiant]

OK pour le niveau prepa. Donc un exo sur les groupes c'est au bon niveau puisque c'est L2. Sinon pour coller au programme TS, il suffit de remplacer "groupe" par "Z / nZ".

@Samuel9-14 : si tu bloques, prend f: [-1 ; 1] --> [-1 ; 1]. C'est exactement pareil, mais plus simple..

[iamkepl]

plus proche du programme de TS ? Je vois mal comment l'on peut définir proprement sans parler de groupe. De surcroit, alors que les groupes sont au programme de MPSI, la notion de groupe quotient est HP en MPSI (même si elle est traitée dans les grands lycées).
En plus, cela introduit une certaine ambiguité dans ton énoncé (tu parles de produit) car si est bien un groupe additif, il n'est un groupe multiplicatif que si est premier (pour l'inversibilité).

[L-etudiant]

plus proche du programme de TS ? Je vois mal comment l'on peut définir proprement sans parler de groupe. De surcroit, alors que les groupes sont au programme de MPSI, la notion de groupe quotient est HP en MPSI (même si elle est traitée dans les grands lycées).
En plus, cela introduit une certaine ambiguité dans ton énoncé (tu parles de produit) car si est bien un groupe additif, il n'est un groupe multiplicatif que si est premier (pour l'inversibilité).

Attention, Z/nZ est un anneau... Et puis, pour la spe y'a pas par hasard un chapitre sur les congruences ou modulo ??

[Samuel9-14]

En tout cas je suis en TS (spé physique) et je ne vois pas du tout dequoi vous parlez.

[iamkepl]

Attention, Z/nZ est un anneau... Et puis, pour la spe y'a pas par hasard un chapitre sur les congruences ou modulo ??

En même temps si est un anneau c'est bien que est un groupe abélien.
Il y a effectivement un chapitre sur les congruences mais on ne parle absolument pas de .

[Seirios]

Si l'on veut reformuler l'exercice de L-etudiant, on peut dire :

On définit l'ordre d'un entier comme le plus petit entier non nul tel que . On se donne deux entiers et . Quel est l'ordre de en fonction des ordres de et ?

Soit G un groupe commutatif. Montrer que l'ordre d'un produit est le produit des ordres.

D'ailleurs cette affirmation est fausse

[Seirios]

En plus, cela introduit une certaine ambiguité dans ton énoncé (tu parles de produit) car si est bien un groupe additif, il n'est un groupe multiplicatif que si est premier (pour l'inversibilité).

Attention, le produit dans correspond à l'addition dans ; il faut prendre l'opération de groupe.

[L-etudiant]

Attention, Z/nZ est un anneau... Et puis, pour la spe y'a pas par hasard un chapitre sur les congruences ou modulo ??

Attention ceci est archi faux ! J'ai ete trop vite. En fait dans ma question, je parle d'un groupe G abélien quelconque, dont la LCI est noitée multiplicativement ! Donc là pour Z/nZ, c'est bien +. Ca ne depend que de la commutativité.

Désolé, j'aurais du me relire une seconde fois.

[L-etudiant]

Si l'on veut reformuler l'exercice de L-etudiant, on peut dire :

On définit l'ordre d'un entier comme le plus petit entier non nul tel que . On se donne deux entiers et . Quel est l'ordre de en fonction des ordres de et ?

D'ailleurs cette affirmation est fausse

C'est vrai ! J'ai oublié de mettre que les elements sont premiers entre eux

[L-etudiant]

En même temps si est un anneau c'est bien que est un groupe abélien.
Il y a effectivement un chapitre sur les congruences mais on ne parle absolument pas de .

L'ensemble des matrices carrées est un anneau pour + et . mais n'est pas commutatif...

[Samuel9-14]

@Samuel9-14 : si tu bloques, prend f: [-1 ; 1] --> [-1 ; 1]. C'est exactement pareil, mais plus simple..

Petite vérificiation quand même concernant l'écriture, f: [-1 ; 1] --> [-1 ; 1] signifie bien que pour tout x de [-1 ; 1], f(x) appartient à [-1:1] ou c'est autre chose ?

[L-etudiant]

Petite vérificiation quand même concernant l'écriture, f: [-1 ; 1] --> [-1 ; 1] signifie bien que pour tout x de [-1 ; 1], f(x) appartient à [-1:1] ou c'est autre chose ?

C'est bien ca. D'ailleurs j'ai pas reprecisé mais f est continue.

[Samuel9-14]

Oui enfin j'imagine que le fait qu'elle soit continue n'est que la condition pour que la proposition soit vraie.

[iamkepl]

L'ensemble des matrices carrées est un anneau pour + et . mais n'est pas commutatif...

est bien commutatif non ? J'ai jamais dit que l'était.

[L-etudiant]

est bien commutatif non ? J'ai jamais dit que l'était.

Ha oui, je comprend ce que tu veux dire ! Oui, tu as raison ! Je croyais que tu affirmais que l'anneau est commutatif si le groupe l'est...

[Samuel9-14]

Donc pour mon problème là ^^
Soit g la fonction qui à x associe f(x)-x.

On a g(x)=0 si g est strictement décroissante et passe de valeur positive à valeur négative, ou g est strictement croissante et passe de valeur négative à valeur positive.
(Théorème de la valeur intermédiaire).

Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie, mais il me reste à prouver que pour toute fonction f où f: [-1 ; 1] --> [-1 ; 1] les conditions énoncées ci-dessus sont vraies...

[L-etudiant]

Donc pour mon problème là ^^
Soit g la fonction qui à x associe f(x)-x.

On a g(x)=0 si g est strictement décroissante et passe de valeur positive à valeur négative, ou g est strictement croissante et passe de valeur négative à valeur positive.
(Théorème de la valeur intermédiaire).

Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie, mais il me reste à prouver que pour toute fonction f où f: [-1 ; 1] --> [-1 ; 1] les conditions énoncées ci-dessus sont vraies...

Non, le theoreme te dis que si y'a un changement signe g s'annule (g est continue car f et Id le sont).

Tu n'as pas d'informations supplémentaires.

Essayes d'evaluer la fonction en certains points...

[iamkepl]

Tu te compliques la vie. Peu importe les variations de la fonction. Il suffit seulement d'étudier (pas trouvé de flèche avec barre, c'est bien mapsto normalement ?) à certains points particuliers.