[TS+] Exercices sympas.

[invite04b0ac11]

Eh ben comme pour les racines réelles d'un trinôme, on écrit bien qu'il y a deux racines si et seulement si b^2>4ac par exemple.
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[invite7fa3b928]

Bonjour les gens,
Voila un exercice que j'ai trouvé : Montrer que ;

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Je pense bien qu'il faut le résoudre par une récurrence mais il existe peut-être un moyen plus sympa

[Seirios]

C'est un encadrement très grossier, un indice :

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et chaque élément est encadré par...

[invite7fa3b928]

Autant, j'arrive a minorer n! très facilement, autant la majoration j'ai un peu de mal...
Oui, non, j'ai compris pourquoi je chercher à majorer par et non

[Seirios]

Même avec mon indication ? La majoration se fait dans la même idée que la minoration.

[invite7fa3b928]

Hm, c'est à dire que je ne comprend pas tellement ce que tu indiques, si par élément tu entends 1, 2 ,3 ,4 chaque élément est encadré par son entier précédent et son consécutif.
Je partirai donc de ?
ou

[Seirios]

L'encadrement est encore trop fin, il faut encadrer tous les éléments du produit de la même manière (c'est pour cela qu'il y a des puissances dans le résultat final).

[invite04b0ac11]

Bonjour,

On peut dire que chaque facteur de n! est inférieur ou égal à n...Par multiplication de toutes les inégalités on obtient bien n! <ou égal à n^(n-1) .

[invite7fa3b928]

Seirios,
Tu veux pas nous donner un exercice assez compliqué ? qu'on puisse raisonner à plusieurs dessus ou que la solution ne paraisse pas évidente (même si difficile a démontrer c'est pas cool quand on voit très vite ce qu'il faut montrer)

[invite621f0bb4]

Moi eprso ça me plait les démonstrations, parce que des exos compliqués il y en a dans mon livre ^^

[Seirios]

Seirios,
Tu veux pas nous donner un exercice assez compliqué ? qu'on puisse raisonner à plusieurs dessus ou que la solution ne paraisse pas évidente (même si difficile a démontrer c'est pas cool quand on voit très vite ce qu'il faut montrer)

J'ai donné une série de questions d'analyse et un exercice (difficile) d'arithmétique au message #11, puis un exercice (difficile, peut-être même trop difficile) sur les équations différentielles au message #5.

Maintenant, si tu as un sujet précis qui t'intéresse, tu peux toujours demander.

[invite7fa3b928]

Il est vrai que j'aime bien la géométrie, même si celle-ci est trop souvent étrangère à ma compréhension.
Merci je vais jeter un coup d'oeil !

[invite7fa3b928]

Raah je piétine ...

donc c'est à dire
En simplifiant par b on obtient d'où
On remplace dans l'expression : ainsi
On simplifie par 2 et on obtient ie
J'ai du mal la...


Je devrai pas plutôt essayé de résoudre avec les matrices ?

[invite621f0bb4]

Je ne vois pas d'où tu sors ta troisième égalité qui est... fausse (essaye par exemple pour a=1, b=2 et c=3)

[Seirios]

Raah je piétine ...

donc c'est à dire
En simplifiant par b on obtient d'où
On remplace dans l'expression : ainsi
On simplifie par 2 et on obtient ie
J'ai du mal la...

Il y a une erreur dans l'égalité , tu as simplifié de travers.

Je devrai pas plutôt essayé de résoudre avec les matrices ?

La méthode que je connais ne passe pas par les matrices, mais il doit également être possible de passer par là.

Cela dit, la résolution est (très) astucieuse, donc tu devrais essayer de reconnaître une expression intervenant dans des chapitres qui n'ont a priori rien à voir avec l'arithmétique.

Je ne vois pas d'où tu sors ta troisième égalité qui est... fausse (essaye par exemple pour a=1, b=2 et c=3)

La troisième égalité est correct, il a simplement multiplié par (il manque tout de même un carré au tout à droite, mais cela n'intervient pas dans la suite des calculs).

[invite04b0ac11]

Ce système me fait penser à la colinéarité et au produit scalaire...est-ce une bonne piste ?

[invite7fa3b928]

Euh oui, j'ai simplifié de travers, on a plutôt ce qui ne nous apporte rien... Je vais essayer de procéder d'une autre manière.

[invite621f0bb4]

Il ne faut pas oublier que ça peut être une solution complexe...

[invite7fa3b928]

Pas si on résoud dans les entiers relatifs ...

[invite7fa3b928]

Ce système me fait penser au produit scalaire...est-ce une bonne piste ?

Je pense que c'est une bonne idée, je vais essayer de partir la dessus

[invite621f0bb4]

J'ai trouvé ac²-2ac-c²=ac (parmis plein d'autres équations d'ailleurs )
Mais celle là me fait penser à une factorisation avec c un nombre complexe, serais-je sur une bonne piste ? ^^

[invite621f0bb4]

J'ai donc :
ac²-2ac-c²=ac
c²=(a+1)
ac=a+c
Suis-je sur la bonne piste ? J'ai l'impression que tout ça ne sert à rien...

C ame parait un peu compliqué tout ça...

[Seirios]

Suis-je sur la bonne piste ? J'ai l'impression que tout ça ne sert à rien...

C ame parait un peu compliqué tout ça...

Il ne faut pas se décourager, sur les problèmes difficiles, il faut souvent noircir plusieurs pages pour finalement en extraire les quelques lignes qui fourniront une solution simple.

[invite621f0bb4]

Ben là j'en suis à une copie double ^^

[invite621f0bb4]

A-t-on des solutions uniques ? Parce que moi je trouve trois couples possibles pour b et d, deux possibles pour a et c pour chaque couple b et d. Dont des solutions complexes.

[invite621f0bb4]

A supprimer...

[invite621f0bb4]

Pas si on résoud dans les entiers relatifs ...

Ah oui j'ai dit n'imp, quand j'ai vu Z j'ai pensé aux complexes, mea culpa ^^

[invite7fa3b928]

Je ne pense pas que ce soient des solutions uniques, d'où la difficulté de l'exercice, je suppose qu'on doit pouvoir les exprimer tous en fonction de a, avec a un entiers relatifs quelconque

[invite7fa3b928]

Résoudre dans le système . Toujours dans l'idée du produit scalaire/vecteur.

Je commencerai par poser , et
D'où de même

Peut on ici appliquer l'identité vectorielle : ? D'où on en déduirai et peut être en poursuivant d'autres choses...

[Seirios]

Attention, le produit scalaire vaut , idem pour .