[TS+] Exercices sympas.

invite2c46a2cb · 09/03/2013, 22h10

J'adore cette section, où on planche à plusieurs sur un problème difficile (de toute manière vaut mieux si je vais en prépa..), je vais donc me joindre à vous !
Pour commencer, je voulais préciser un truc, je sais pas si c'est très utile mais.. :
bc + ab = 2
donc c+a = 2/b
Et, c+a étant entier, on a donc 2/b entier, soit b={-1,-2,1,2} (Et idem pour c+a)
Et puis, d'après le théorème de Bezout, a et c sont premiers avec b et d..
Si ça peut avancer certains..

invite621f0bb4 · 09/03/2013, 23h12

Juste, est-ce que ça fait intervenir la spé maths ? Si oui, j'arrête de chercher ^^

invite4ff70a1c · 10/03/2013, 02h07

Salut.
Est-ce qu'on a dans la deuxième équation bc+ab=2 ou bien bc+ad=2 ?
Si oui ,peut-etre a-t-on :
sin(u;v)=1/[||u||.||v||] et
cos (u;v)=2/[||u||.||v||].
En divisant,on obtient tan(u;v)=1/2.
Si c'est faux et je suis presque sur que ça l'est car Seiros vient juste de relire sa question la page précédente.
Sinon,je ne vois que la piste "arithmétique ".
b(a+c)=2 donc b|2 donc b=-2;-1;1;2.
Si b=1 le système devient c+a=2 et ac=1+d d'ou l'équation x²-2x+1+d=0 .Le discriminant D=-d et d doit etre un nombre entier appartenant à {0;-1;-4;-9......} donc
-d=t² d'ou pour b=1 les quadruplets (a;b;c;d)=(1+t;1;1-t;-t²) ou (1-t;1;1+t;-t²) avec t appartenant à {0;-1;-4;-9....}.On continue (?) pour les autres valeurs de b.
Merci Seiros et vous tous de corriger.

invite621f0bb4 · 10/03/2013, 09h27

En tout cas il y a un quadruplet qui fonctionne :
a=1
b=1
c=1
d=-2

Je l'ai trouvé par simple déduction grâce aux observations de Teddy.
J'ai testé pour b=1 quel est un couple a;b qui résout la première équation. Puis je me suis servi des trois valeurs pour me retrouver avec une seule inconnue dans la deuxième équation.
Il résout le système proposé par Seirios, de là à dire que c'est le seul, ça m'étonnerait ^^
Mais pour tous les trouver avec ma méthode, il faut être patient

**Seirios** · 10/03/2013, 10h27

Envoyé par Teddy-mension

Pour commencer, je voulais préciser un truc, je sais pas si c'est très utile mais.. :
bc + ab = 2
donc c+a = 2/b

Attention, la deuxième équation est $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ .

Envoyé par Samuel9-14

Juste, est-ce que ça fait intervenir la spé maths ? Si oui, j'arrête de chercher ^^

Il n'y a rien de vraiment spécifique à la spé math, juste des propriétés élémentaires sur la division.

invite621f0bb4 · 10/03/2013, 10h53

Ha donc du coup mes solutions sont fausses si la deuxième équation est bc+ad ^^

invite2c46a2cb · 10/03/2013, 11h06

Envoyé par Seirios

Attention, la deuxième équation est $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ .

Tout ce que j'ai fait est faux alors. ^^'
C'est pourtant ce que tu avais mis dans le message #11..

Envoyé par Seirios

Il n'y a rien de vraiment spécifique à la spé math, juste des propriétés élémentaires sur la division.

On oublie Bezout alors !

invite7fa3b928 · 10/03/2013, 11h41

Enfoirééééé depuis le début on essaie de résoudre avec $\text{[math]}$ le système avec $\text{[math]}$ et pas $\text{[math]}$
Du coup ça me remotive quand même ^^

**Seirios** · 10/03/2013, 11h47

Envoyé par Teddy-mension

On oublie Bezout alors !

Il n'y a probablement pas qu'une seule méthode pour arriver au résultat ; si tu arrives à trouver la solution en utilisant le théorème de Bezout, ce sera tout de même bien.

**Seirios** · 10/03/2013, 14h02

Le système à résoudre est bien $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

En fait, le système $\text{[math]}$ se résolvait facilement à partir de ce que Teddy-mension a écrit :

On a $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ ; en utilisant la première égalité, $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , on raisonne de la même manière et on trouve que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Les solutions sont donc de la forme $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ .

invitebbd6c0f9 · 10/03/2013, 14h07

Envoyé par Seirios

$\text{[math]}$

Ne pas oublier le backslash dans la balise

Il reste donc qu'à choisir une valeur de a, c'est bien ça?

**Seirios** · 10/03/2013, 15h57

Pour avoir une solution particulière, oui. Ici, nous avons donc une infinité de solutions.

invite7fa3b928 · 10/03/2013, 19h20

Donc on continue à essayer de résoudre $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

J'en déduis, frauduleusement qu'il y a forcement un membre parmi $\text{[math]}$ nul.

Supposons $\text{[math]}$ , ce qui implique que $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

or d'après le système initial, $\text{[math]}$ D'où $\text{[math]}$ de même $\text{[math]}$

Ainsi, avec $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ d'où on en déduit
que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ marche ainsi que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Ça marche aussi avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
De même avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Enfin avec $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Qu'en pensez vous ? Comment pourrai-je procéder sans arnaque de la sorte pour la déduction frauduleuse (qui cela dit n'est peut être même pas vrai)?
(sans faire 20 lignes ahah, sinon je vois comment mais c'est pas rapide)

invite621f0bb4 · 10/03/2013, 19h28

Ta déduction frauduleuse est peut-être vraie mais elle me surprend quand même, la somme de quatre produits d'entiers élévés au carrés égale à 5 ? Ca me parait surprenant...

invite2c46a2cb · 10/03/2013, 19h32

Oui, c'est complètement vrai, et c'est d'ailleurs de là qu'on peut en déduire qu'un membre parmi a,b,c et d est nul, en raisonnant par l'absurde. (Si c'était pas le cas, Dans Z, ça ferait ou 4, ou plus de 5, mais pas 5, un carré étant toujours positif)

Moi je trouve la méthode sympathique, et j'approuve ! Bien joué !

**Seirios** · 10/03/2013, 20h51

Envoyé par pppoooiii

Donc on continue à essayer de résoudre $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

J'en déduis, frauduleusement qu'il y a forcement un membre parmi $\text{[math]}$ nul.

Supposons $\text{[math]}$ , ce qui implique que $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

or d'après le système initial, $\text{[math]}$ D'où $\text{[math]}$ de même $\text{[math]}$

Ainsi, avec $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ d'où on en déduit
que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ marche ainsi que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Ça marche aussi avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
De même avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Enfin avec $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Qu'en pensez vous ? Comment pourrai-je procéder sans arnaque de la sorte pour la déduction frauduleuse (qui cela dit n'est peut être même pas vrai)?
(sans faire 20 lignes ahah, sinon je vois comment mais c'est pas rapide)

Ton argument "frauduleux" ne l'est en fait pas, Teddy-dimension t'as donné un argument pour le montrer. Donc ce que tu as écrit est tout à fait correct.

Tu peux raccourcir ta démonstration en exploitant les symétries du problème : si (a,b,c,d) est solution, alors (c,d,a,b) également, ce qui permet de ne distinguer que deux cas possibles. Ensuite, il ne faut pas oublier de vérifier que les éléments que tu trouvent sont bien solutions.

Une méthode alternative aurait été de factoriser l'expression $\text{[math]}$ .

Je posterai la solution que j'avais un peu plus tard.

invite621f0bb4 · 10/03/2013, 21h05

Envoyé par Seirios

Et puis, pour la forme, une série de questions sur les limites de fonctions :

1) Si $\text{[math]}$ , a-t-on nécessairement $\text{[math]}$ ?
2) Si $\text{[math]}$ , a-t-on nécessairement $\text{[math]}$ ?
3) Si $\text{[math]}$ , a-t-on nécessairement $\text{[math]}$ ? Et si l'on remplace $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ ?
4) Si $\text{[math]}$ et f périodique, que peut-on dire de f ?
5) Si $\text{[math]}$ , a-t-on nécessairement $\text{[math]}$ ?

Bon ben on n'a plus qu'à répondre à ça, mais il me semble qu'il manque quelque chose pour la 1, non ? J'imagine que c'est la limite en + infini de f(x)=l.

**Seirios** · 10/03/2013, 22h57

Tout à fait.

invite621f0bb4 · 11/03/2013, 07h15

J'imagine qu'il faut justifier nos réponses ?

**Seirios** · 11/03/2013, 10h19

Bien sûr, c'est l'intérêt de l'exercice : trouver une démonstration ou un contre-exemple.

invite621f0bb4 · 11/03/2013, 10h30

Donc pour la 1 je dirais faux.

Soit f strictement croissante tend vers l=1, alors à l'infini, la tangente à la courbe représentative de f ne tendra pas vers 0 mais vers + l'infini.

(Ca me parait un peu facile tout ça ^^)

**Seirios** · 11/03/2013, 10h51

Non, considère $\text{[math]}$ ; c'est une fonction croissante tendant vers 1, et sa dérivée tend bien vers zéro. Tu peux même démontrer que si une fonction monotone converge, alors sa dérivée tend vers zéro (à l'infini).

**Seirios** · 11/03/2013, 10h58

Pour l'exercice d'arithmétique, une solution élégante est la suivante (en pratique assez proche de celle donnée par pppoooiii) :

Introduisons les nombres complexes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Alors le système est équivalent à $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ est un nombre premier, donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il suffit ensuite de remarquer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'ont qu'une seule écriture en somme de deux carrés : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Cela nous donne un ensemble de solutions possibles, que l'on teste pour finalement trouver huit solutions.

invite2c46a2cb · 13/03/2013, 14h54

Juste, je voudrais savoir s'il est correct de dire que:
$\text{[math]}$
Ça me semble assez logique, mais j'ai un doute..

**Seirios** · 13/03/2013, 17h50

Non, tu ne peux pas écrire cela : $\text{[math]}$ est un nombre (lorsque la limite existe), donc si tu le dérives, tu obtiens zéro, d'où la conclusion 0=0...

invite7fa3b928 · 13/03/2013, 18h00

C'est vrai que ça parait logique dans le raisonnement.
Après avoir testé un grand nombre de fonctions, il est vrai que par conjecture je tendrais à dire que ce qu'on doit démontrer est vrai.

invite2c46a2cb · 13/03/2013, 20h43

Envoyé par Seirios

Non, tu ne peux pas écrire cela : $\text{[math]}$ est un nombre (lorsque la limite existe), donc si tu le dérives, tu obtiens zéro, d'où la conclusion 0=0...

Ah je vois.. Mais au final, $\text{[math]}$ est également un nombre aussi (en l'occurence $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ ..)
.. Non ? x)

**Seirios** · 13/03/2013, 21h17

Oui, mais tu dérives avant de passer à la limite : tu dérives une fonction, pour obtenir une nouvelle fonction dont tu prends la limite. Toutes les opérations ont bien un sens. Faire les choses dans le sens inverse est fondamentalement différent : tu prends la limite d'une fonction, pour obtenir un nombre, que tu dérives.

**Seirios** · 14/03/2013, 13h29

Envoyé par pppoooiii

C'est vrai que ça parait logique dans le raisonnement.
Après avoir testé un grand nombre de fonctions, il est vrai que par conjecture je tendrais à dire que ce qu'on doit démontrer est vrai.

En principe, ce doit être le cas avec toutes les questions. Bien entendu, certaines d'entre elles ont une réponse négative.

invite2c46a2cb · 14/03/2013, 20h54

Envoyé par Seirios

Oui, mais tu dérives avant de passer à la limite : tu dérives une fonction, pour obtenir une nouvelle fonction dont tu prends la limite. Toutes les opérations ont bien un sens. Faire les choses dans le sens inverse est fondamentalement différent : tu prends la limite d'une fonction, pour obtenir un nombre, que tu dérives.

Oui oui, j'avais bien saisi la différence, mais étant donné que ça semblait coller pour ta première affirmation puisque manifestement elle est vraie, j'essayais de savoir si c'était vrai en général, pour des fonctions tendant vers toutes sortes de limites.. En gros "La limite d'une dérivée est la dérivée d'une limite".
Mais en fait, ça a pas vraiment de sens, parce qu'après on en vient à dériver l'infini..

Et du coup si c'était le cas en général, ça devenait (trop) simple à démontrer..
Il faut donc passer par ailleurs..

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