[TS+] Exercices sympas.

[Seirios]

Une question proche est donc : si , a-t-on ?
-----

[Seirios]

Après avoir testé un grand nombre de fonctions, il est vrai que par conjecture je tendrais à dire que ce qu'on doit démontrer est vrai.

Par curiosité, quels sont les exemples que tu as considérés ?

[invite2c46a2cb]

Une question proche est donc : si , a-t-on ?

Ça c'est faux. Contre-exemple:
Prenons la fonction *J'ai pas trouvé plus simple*
On a bien la limite égale à .
Or, la dérivée c'est 1, et à l'infini, ça reste 1..

Par contre, est-ce qu'on peut affirmer que, par exemple, ?

[invite2c46a2cb]

Par contre, est-ce qu'on peut affirmer que, par exemple, ?

Euh ouais non, parce qu'on peut pas dériver l'infini du coup. --
*Je fais questions réponses hein*

[Seirios]

Alors une autre question proche : peut-on avoir mais ?

[invite39a34ef5]

Simplement

[invite2c46a2cb]

Oui, ça marche aussi avec ..
Toutes les fonctions concaves tendant vers l'infini en fait ?

[Seirios]

L'identité est concave et tend vers l'infini, mais sa dérivée est identiquement égale à 1.

[invite7fa3b928]

Par curiosité, quels sont les exemples que tu as considérés ?

Après avoir réfléchi j'ai pensé utiliser les fonctions sinus et cosinus, tel que le problème c'est que la dérivée fait apparaître comme terme du plus haut degré du coup ça tend vers 0...
De même avec des fonctions, composé assez compliquer (j'utilisais xcas pour dériver et calculer les limites)...

[invite7fa3b928]

dommage qu'on puisse pas delete un message quand il vient d'être publier...

[invite2c46a2cb]

L'identité est concave et tend vers l'infini, mais sa dérivée est identiquement égale à 1.

Disons strictement concave dans ce cas là..

[invite7fa3b928]

4) Si et f périodique, que peut-on dire de f ?

 Cliquez pour afficher

On suppose que f est une fonction constante, démontrons le.

Raisonnons par l'absurde :

Soit f, une fonction T-périodique, par définition tel que
On considère alors par définition tel que

Supposons f non constante, alors ; alors en prenant
On peut écrire ainsi on pose
Ce qui implique que , on remarque que si on aurait
On aboutit donc à une contradiction, on a donc prouvé qu'une fonction périodique et non-constante n'a pas de limite en l'infini et que par conséquent Si et f périodique, alors f est une fonction constante.

[Seirios]

 Cliquez pour afficher

Tu ne peux écrire que si .

Une remarque : tu n'as pas utiliser la périodicité de , donc ton argument a nécessairement un problème (le résultat n'étant pas vrai de manière générale, bien sûr).

[Seirios]

Disons strictement concave dans ce cas là..

Non plus : .

[invite2c46a2cb]

Non plus : .

Rah ! *s'en va, vexé*

[invite7fa3b928]

Je reprendrais à l'implication ; ce qui implique que ,
on remarque que tel que or
On aboutit donc à une contradiction si je montre ça, ça marche du coup non ?

[Seirios]

Oui, je suis d'accord.

[Seirios]

L'un des premiers problèmes posés a été un résultat de point fixe. Voici un problème sur un résultat du même accabit :

On dit qu'une suite réelle est une suite de Cauchy si pour tout , il existe un entier tel que pour tous . (Faire des dessins pour visualiser la définition.)
1) Montrer qu'une suite convergente est une suite de Cauchy.
2) Montrer qu'une suite de Cauchy est convergente. (Indication : on pourra remarquer qu'une suite de Cauchy est toujours bornée.)

On dit qu'une fonction est -lipschitzienne (avec ) si pour tous . Si de plus , on dit que est contractante.
3) Donner une condition nécessaire et suffisante sur la dérivée d'une fonction (dérivable et de dérivée continue) pour que soit contractante.
4) Considérons la suite définie par récurrence comme suit : avec . Montrer que est une suite de Cauchy.
5) En déduire que toute application contractante admet un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe tel que .

[invite2c46a2cb]

Allez, je tente quelque chose pour la 1).

Soit convergente de limite
Donc

On peut donc aussi dire que
De même, on trouve

Par soustraction membre à membre,



Autrement dit,
est donc une suite de Gauchy.

[Seirios]

L'idée est correcte, mais la rédaction est plutôt maladroite... Donne-toi un et trouve un entier vérifiant la propriété désirée ; ici, tu fais un peu le chemin à l'envers.

[invite2c46a2cb]

C'est-à-dire qu'au lieu de mettre , je devrais plutôt dire (Le reste en découlant) ?

[Seirios]

Ce que je veux dire, c'est que l'écriture n'a pas vraiment de sens ; j'ai bien compris ce que tu as voulu dire, et c'est une bonne idée, mais il faut le rédiger proprement. Un exemple de bonne rédaction peut être :

Soit . Par l'hypothèse de convergence, il existe tel que pour tout . Par conséquent, pour tous , .

Nous avons donc montré que pour tout , il existe un entier tel que pour tous *. La suite est donc de Cauchy.

*On écrit rarement cette phrase en pratique, supposant que l'on garde à l'esprit ce que l'on cherche à démontrer.

[invite2c46a2cb]

Soit . Par l'hypothèse de convergence, il existe tel que pour tout . Par conséquent, pour tous , . La suite est donc de Cauchy.

Eh ben, j'y aurais jamais pensé..
En tout cas merci ! ^^'

[invite2c46a2cb]

Par contre juste, je comprends pas pourquoi on peut écrire ça: ?

[Seirios]

C'est plus ou moins la même idée que celle que tu as écrite ; j'ai simplement pris puis utiliser l'inégalité triangulaire.

De toute manière, tu retrouveras très souvent ce genre de raisonnement après le bac, tu auras l'occasion de t'y faire

[Seirios]

Par contre juste, je comprends pas pourquoi on peut écrire ça: ?

Tu as par inégalité triangulaire.

[invite2c46a2cb]

Par inégalité triangulaire ? Je comprends pas le rapport.. Ça parait plutôt logique, mais je vois pas pourquoi on justifie ça avec l'inégalité triangulaire ?

[invite621f0bb4]

(C'est quoi une inégalité triangulaire ? D'après l'exemple, je pense avoir compris mais bon ^^)

[Seirios]

De manière équivalente, j'utilise l'inégalité . Plus généralement, on parle d'inégalité triangulaire dans les espaces vectoriels normés : ; si l'on se place dans , muni de la norme euclidienne (), on obtient exactement que la somme de deux côtés d'un triangle est supérieure au troisième côté. On a également un équivalent pour les espaces métriques : . Dans le cas de , la valeur absolue définie une norme et l'application définit une distance.

C'est vrai que ce n'est peut-être pas un vocabulaire très utilisé au lycée, mais c'est tellement commun que je n'y ai pas fait attention.

[invite621f0bb4]

En effet, pas commun au lycée

Merci pour ce petit cours en tout cas
En fait j'ia un exo "vers le supérieur" dans mon livre pour démontrer qu'une suite convergente est de Cauchy qui lui par contre divise cette démonstration en 2-3 questions (même démarche, mais pas de mension d'inégalités triangulaires, d'où mon interrogation au départ)