Signe de f'(x)=12x^3+12x²+60x+2

[invite8c4ea4c7]

Bonjour,

J'ai un DM de Maths à rendre pour la rentrée, et je bloque sur une question

L'énoncé me dit:
"La fonction f est définie sur R par f(x)=3x⁴+4x³+30x²-84x+2.
Calculer f'(x) et en déduire les variations de f."

Pour la dérivée ça va je pense, je trouve f'(x)=12x³+12x²+60x-84.
Pour la suite, je sais que pour trouver les variations d'une fonction, il faut connaitre le signe de sa dérivée. Jusque la ça va, mais après je bloque. Comment trouver le signe?? La dérivée n'est pas du second degré, donc je ne peux pas utiliser delta. La factorisation par x ne marche pas, puisque j'ai -84.
Je ne vois vraiment pas comment faire, et je suis dessus depuis hier.

Si quelqu'un pouvait m'aider,
Merci d'avance
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[Amanuensis]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

La dérivée est correcte. Il y a une factorisation évidente par une constante, et avec la forme obtenue, une racine saute aux yeux (si tant est qu'elle ne sautait pas déjà aux yeux).

[invite8d4af10e]

Bonjour
tu remarqueras que f'(1)=0 donc f'(x) tu peux le factoriser par (x-1) cad f'(x)=(x-1)(ax²+bx+c )
il suffit de trouver a b et c
Edit : Grillé

[invite8c4ea4c7]

Merci à tous les deux, je bosse sur vos solutions

Effectivement Amanuensis, le facteur est vraiment, vraiment, vraiment évident : 12. Je ne sais pas ce que je regardais, pendant tous ce temps
Par contre je ne vois pas la racine qui saute aux yeux...

Jamo, comment, du fait que f'(1)=0, tu dis que f'(x) est factorisable par (x-1)?? Je pose la question car je suis curieuse

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Hmmm... Factoriser 12, c'est juste pour "nettoyer".

Le point clé est (était) de trouver une racine "à vue". Vu votre seconde question, il y a un problème.

Cela doit faire partie du cours, que si un polynôme P est tel que P(a)=0, alors il est divisible par X-a.

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Indépendamment de cela, vous pouvez trouver la factorisation. Si ça marche, c'est que le polynôme est factorisable, non ?

[invite8c4ea4c7]

Ce théorème ne me rappelle rien, même en regardant mon cours (1°S) il n'y en a aucune trace. Mais passons.

Indépendamment de cela, vous pouvez trouver la factorisation. Si ça marche, c'est que le polynôme est factorisable, non ?

Oui, évidemment, mais comment faire??

f' est déjà factorisée par 12 (même si cette factorisation peut être inutile), ce qui donne f(x)=12(x³+x²+5x-7). Où est la factorisation à trouver?? Est-ce (x-1)?? J'ai beau essayé, je ne vois pas comment faire.

[Amanuensis]

Hmm... 1° S ? On peut imaginer que la technique de division d'un polynôme par un autre n'est pas (non plus) au programme ?

Il s'agit de diviser x^3+x^2+5x -7 par x-1...

Vous pouvez le faire par identification de termes, comme suggéré par jamo, message #3.

[invite8c4ea4c7]

Peut-être, j'en sais rien
en tout cas je l'ai pas encore étudié, ni même entendu parler ce qui est malheureux car ça m'aurait bien aidé


Donc, si j'ai bien compris, il faut que je me débrouille pour passer de 12(x³+x²+5x-7)/(x-1) à (x-1)(ax²+bx+c). Est-ce que j'ai bien compris??

[Amanuensis]

Ben... Je ne vois pas trop comment avancer dans l'exercice sans cette factorisation...

[Amanuensis]

Donc, si j'ai bien compris, il faut que je me débrouille pour passer de 12(x³+x²+5x-7)/(x-1) à (x-1)(ax²+bx+c). Est-ce que j'ai bien compris??

Pour être plus correct, il s'agit de trouver a,b,c tels que

12(x³+x²+5x-7) = (x-1)(ax²+bx+c)

ou tels que (pas les mêmes)

(x³+x²+5x-7) = (x-1)(ax²+bx+c)

[Amanuensis]

Notons que a et c sont évidents, la (petite) difficulté est de trouver b.

[invite8c4ea4c7]

merci, c'est beaucoup plus clair maintenant

Donc, si tout va correctement, pour la 2° solution a, b, c seront respectivement 12 fois plus petits que les a, b, c de la 1° solution

[Amanuensis]

Oui.

En fait seul le signe importe pour les variations...

[invite8c4ea4c7]

Donc, à la limite, pour résoudre l'exercice trouver juste a , c'est bon.


Ou pas car j'ai besoin des racines pour le tableau de signe

[Amanuensis]

Incorrect.....

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Reprenons calmement sans griller d'étapes (même celles que tu ne considères pas comme importantes) :
La fonction est donnée. Tu as déterminé l'expression de sa dérivée sans faute.

Pour déterminer le signe de cette dérivée, il te faut factoriser cette expression.
En factorisant par 12, on obtient bien :
f'(x) = 12(x³+x²+5x-7)

Cette expression est encore factorisable (heureusement) en remarquant que 1 est une racine évidente du polynôme, ce qui veut dire que f'(1) = 0.
Comme cela a été rappelé ci-dessus, si f'(1) = 0 alors l'expression de f'(x) est factorisable par (x-1). (C'est la base de la factorisation des formes polynomiales)
Ainsi, f'(x) peut se mettre sous la forme (x-1)(ax²+bx+c)

 Cliquez pour afficher

puisque c'est un polynôme du troisième degré, c'est le produit d'un polynôme de degré 1 par celui d'un polynôme de degré deux... Tu me suis ?

En développant la forme (x-1)(ax²+bx+c), tu retombes bien entendu sur un polynôme du troisième degré que tu dois identifier à celui de l'énoncé.
Tu obtiendras un système de trois équations à trois inconnues a, b et c qu'il te faudra résoudre.

Le polynôme du second degré que tu obtiendras sera peut-être -ou peut-être pas) factorisable à son tour (...discriminant éventuellement)

L'étude du signe du produit ne devrait pas poser de problème particulier.

Duke.

EDIT : Le fait de faire deux choses en même temps montre ici que je suis ici bien trop lent ...

[invite8c4ea4c7]

Merci beaucoup

[invite8c4ea4c7]

Oui Amanuensis, j'ai remarqué après coup mon erreur
Je dois avoir les racines de l'équation pour avoir son signe et ainsi les variations de f