Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

[invitef83aaf16]

Bonjour,

On m'a demandé de faire un exercice et j'avoue que je bloque pas mal.
On a la fonction

Et là il faut dire si f a une limite en moins l'infini, et si oui la valeur de celle-ci ou l'équation de la droite asymptotique à sa courbe représentative en moins l'infini.

J'ai tenté de faire apparaître des termes, j'ai divisé par sin(x), j'ai voulu mettre des identités remarquables et j'en passe mais je suis bloqué sur cette petite question...

Quelqu'un aurait-il une idée pour me lancer ?
Merci d'avance !
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[invite7d64fdfd]

Tes fonctions trigonométriques sont bornées, elles ne devraient pas avoir beaucoup d'influence sur les termes en x....

[invitef83aaf16]

Certe mais les deux fonctions vont justement être affectée par ces fonctions. On pourrait dire d'instinct que la courbe représentative converge vers une asymptote d'équation y = 2 mais comment le démontrer ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Quelles sont indépendamment en + infini :
- la limite de sinx ?
- la limite de 2x ?

donc la limite en +infini de sinx + 2x est ...

Même topo au dénominateur.

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef83aaf16]

+ infini pour les deux et donc je considère tout simplement la limite de la fraction des plus hauts degrés de chaque polynôme ?

[Duke Alchemist]

Re-

C'est l'idée... à part que ce ne sont pas des polynômes ici.

Duke.

[invitef83aaf16]

C'est justement pour cette raison que je bloque, je ne connais pas de propriétés qui permette de traiter ce sujet ou de dire que nous avons une asymptote. Je vois très bien l'affaire mais pour le démontrer...

[Duke Alchemist]

Re-

Il te suffit de faire des études comparatives des deux fonctions à l'infini :

A l'infini, sinx + 2x se comporte comme 2x puisque -1 < sinx < 1 et donc n'influe pas sur la limite de 2x (à l'infini)

Duke.

[invitef83aaf16]

Je comprends... Et pour spécifier que c'est une limite asymptotique, je dois montrer que les valeurs oscillent autour de 2 en moins l'infini ?

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Il me semble plus simple d'écrire que
ce qui revient à factoriser par le terme de plus haut degré. Les fonctions trigonométriques étant bornées et convergent vers 0 et après par composition de limites le tour est joué.

[invitef83aaf16]

Il y a juste un petit soucis... cette question est en fait en QCM (en justifiant) et les trois réponses possibles sont "f n'a pas de limite en - infini", "la limite est - 2/3" et "la courbe représentative admet la droite d'équation y = 2 comme asymptote en - infini"... je ne peux pas vraiment dire que la limite vaut 2 au final^^

[Duke Alchemist]

Re-


Conclusion : la fonction admet y=2 comme asymptote horizontale en ±infini.

Duke.

EDIT : ce que tu proposes au message #10 marche aussi

[inviteaf48d29f]

Il y a juste un petit soucis... cette question est en fait en QCM (en justifiant) et les trois réponses possibles sont "f n'a pas de limite en - infini", "la limite est - 2/3" et "la courbe représentative admet la droite d'équation y = 2 comme asymptote en - infini"... je ne peux pas vraiment dire que la limite vaut 2 au final^^

Les énoncés "la courbe représentative admet la droite d'équation y = 2 comme asymptote en - infini" et "la fonction admet 2 pour limite en -∞" sont équivalents. Il s'agit juste d'une manière camouflée de dire la même chose (celui qui a écrit le QCM est un vicieux !)

[invitef83aaf16]

Ah oui ? C'est vrai que la définition d'asymptote remonte à loin pour moi et j'ai mal dû voir la chose !
Merci pour cette astuce mathématique !