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Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques



  1. #1
    Stevou

    Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques


    ------

    Bonjour,

    On m'a demandé de faire un exercice et j'avoue que je bloque pas mal.
    On a la fonction

    Et là il faut dire si f a une limite en moins l'infini, et si oui la valeur de celle-ci ou l'équation de la droite asymptotique à sa courbe représentative en moins l'infini.

    J'ai tenté de faire apparaître des termes, j'ai divisé par sin(x), j'ai voulu mettre des identités remarquables et j'en passe mais je suis bloqué sur cette petite question...

    Quelqu'un aurait-il une idée pour me lancer ?
    Merci d'avance !

    -----
    Embrace your dreams.

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  3. #2
    antoine12

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Tes fonctions trigonométriques sont bornées, elles ne devraient pas avoir beaucoup d'influence sur les termes en x....

  4. #3
    Stevou

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Certe mais les deux fonctions vont justement être affectée par ces fonctions. On pourrait dire d'instinct que la courbe représentative converge vers une asymptote d'équation y = 2 mais comment le démontrer ?
    Embrace your dreams.

  5. #4
    Duke Alchemist

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Bonsoir.

    Quelles sont indépendamment en + infini :
    - la limite de sinx ?
    - la limite de 2x ?

    donc la limite en +infini de sinx + 2x est ...

    Même topo au dénominateur.

    Duke.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Stevou

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    + infini pour les deux et donc je considère tout simplement la limite de la fraction des plus hauts degrés de chaque polynôme ?
    Embrace your dreams.

  8. #6
    Duke Alchemist

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Re-

    C'est l'idée... à part que ce ne sont pas des polynômes ici.

    Duke.

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  10. #7
    Stevou

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    C'est justement pour cette raison que je bloque, je ne connais pas de propriétés qui permette de traiter ce sujet ou de dire que nous avons une asymptote. Je vois très bien l'affaire mais pour le démontrer...
    Embrace your dreams.

  11. #8
    Duke Alchemist

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Re-

    Il te suffit de faire des études comparatives des deux fonctions à l'infini :

    A l'infini, sinx + 2x se comporte comme 2x puisque -1 < sinx < 1 et donc n'influe pas sur la limite de 2x (à l'infini)

    Duke.

  12. #9
    Stevou

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Je comprends... Et pour spécifier que c'est une limite asymptotique, je dois montrer que les valeurs oscillent autour de 2 en moins l'infini ?
    Embrace your dreams.

  13. #10
    S321

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Bonjour,

    Il me semble plus simple d'écrire que
    ce qui revient à factoriser par le terme de plus haut degré. Les fonctions trigonométriques étant bornées et convergent vers 0 et après par composition de limites le tour est joué.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  14. #11
    Stevou

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Il y a juste un petit soucis... cette question est en fait en QCM (en justifiant) et les trois réponses possibles sont "f n'a pas de limite en - infini", "la limite est - 2/3" et "la courbe représentative admet la droite d'équation y = 2 comme asymptote en - infini"... je ne peux pas vraiment dire que la limite vaut 2 au final^^
    Embrace your dreams.

  15. #12
    Duke Alchemist

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Re-


    Conclusion : la fonction admet y=2 comme asymptote horizontale en ±infini.

    Duke.

    EDIT : ce que tu proposes au message #10 marche aussi
    Dernière modification par Duke Alchemist ; 25/02/2013 à 22h22.

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  17. #13
    S321

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Citation Envoyé par Stevou Voir le message
    Il y a juste un petit soucis... cette question est en fait en QCM (en justifiant) et les trois réponses possibles sont "f n'a pas de limite en - infini", "la limite est - 2/3" et "la courbe représentative admet la droite d'équation y = 2 comme asymptote en - infini"... je ne peux pas vraiment dire que la limite vaut 2 au final^^
    Les énoncés "la courbe représentative admet la droite d'équation y = 2 comme asymptote en - infini" et "la fonction admet 2 pour limite en -∞" sont équivalents. Il s'agit juste d'une manière camouflée de dire la même chose (celui qui a écrit le QCM est un vicieux !)
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  18. #14
    Stevou

    Re : Limite à l'infini d'une fraction de fonctions trigonométriques

    Ah oui ? C'est vrai que la définition d'asymptote remonte à loin pour moi et j'ai mal dû voir la chose !
    Merci pour cette astuce mathématique !
    Embrace your dreams.

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