Cet exercice est un QCM. J'ai réussi à justifier la plupart des propositions mais j'avoue beaucoup bloquer sur l'ultime partie de l'exercice... J'aurais besoin d'explication ou de pistes pour continuer dans la bonne direction, car j'ai beau chercher, je ne vois pas comment résoudre deux des trois propositions...
Enoncé : On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation (E): z+lzl²=7+i
a) (E) admet deux solutions qui ont 1 pour partie imaginaire.
J'ai trouvé que cette proposition était vraie car:
z+lzl²=7+i
a+bi+a²+b²-7-i=0 avec z=a+bi, a et b deux réels.
a²+a+i-i+1-7=0 car b=1
a²+a-6=0
On calcule le discriminant :
Δ=1²-4*1*(-6)
Δ=25>0 donc deux solutions distinctes (réelles)
On trouve z1=-3 et z2=2
b) (E) admet une solution qui a pour partie imaginaire 2.
J'ai essayé de résoudre cette question comme la précédente, en remplaçant z par a+bi et b par 2 mais je n'aboutis à rien...
z+lzl²=7+i
a+bi+a²+b²=7+i
a²+a+4+2i-7-i=0 car b=2
a²+a+i-3=0
Je ne vois pas comment résoudre cette équation avec le "i" à l'intérieur... Mon raisonnement est-il faux ? Dois-je partir d'une autre façon ou modifier mon expression ?
c) Si z1 et z2 sont les solutions de (E), alors √2e-3iπ/4 est la forme exponentielle du nombre comple xe z1/z2 avec Re(z2)>0
Je ne sais pas par où partir, et ce à quoi je dois aboutir.
J'ai développé la forme exponentielle √2e-3iπ/4 et je suis retombée sur une forme algébrique -1-i
Donc z1/z2=-1-i
On sait aussi que z1/z2=(r1/r2)ei(θ1-θ2), avec r1 et r2 modules de z1 et z2.
Je ne vois pas comment résoudre ce problème étant donné que nous n'avons que des inconnus...
Faut-il se servir de la formule Arg(z1/z2)=Arg(z1)-Arg(z2) ? Encore une fois, je ne vois pas comment s'en sortir avec z1 et z2 inconnus !
Si vous aviez le temps de m'aidez, de me donner ne serait-ce qu'une piste ou une méthode, ce serait génial ! Je m'arrache les cheveux sur cet exercice depuis trois jours, je n'en peux plus !
Merci
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Envoyé par ESOTSM 
