Exercice TS - Nombres complexes

[invitef4a649c1]

Bonjour,

J'ai vraiment un gros problème avec deux questions d'un exercice sur les nombres complexes. Il marche sous la forme d'un vrai ou faux. J'ai répondu à toutes les premières affirmations mais les dernières me laisse vraiment perplexe... J'aurais besoin de quelques éclaircissements ...

Enoncé: Le plan complexe est rapporté à un repère (O;u;v)
f est l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'=-iz-2i.

Question 1: Si arg(z)=π/2 [2π] alors le point M' décrit une demi-droite.


Donc si arg(z)=π/2 [2π], on sait que z est de la forme z=r(cos(π/2)+isin(π/2)), avec r=lzl
z=r(π/2)+ir(π/2)

Or z'=-iz-2i
z'=-i(r(π/2)+ir(π/2)
=-ir(π/2)-i²r(π/2)
=-ir(π/2)+r(π/2)

On obtient donc bien l'affixe d'un nombre complexe. Cela suffit-il pour conclure que M' décrit une demi-droite ou non, sachant qu'on ne connait pas le module de z ?
Je me demandais si on ne pouvait pas conclure que M' décrivait la demi-droite [OM'), avec O origine du repère du plan complexe ?


Question 2: Si lz'l=1, alors M est un point du cercle de centre A d'affixe -2 et de rayon 1.

On cherche donc une équation de cercle. Pour avoir z_a=-2 et un rayon de 1, on cherche donc à avoir lz"+2l=1, z" un nombre complexe.
Là, j'ai un doute. Faut il poser un nombre z" ou travailler avec z en posant lz+2l=1 ?
On cherche un nombre z" tel que z'=z"+2
On pourrais alors poser :
z"+2=-iz-2i
z"=-iz-2i-2.
En remplaçant dans l"'expression, on a: l-iz-2i-2+2l=1, soit lz'l=1.

Pour le rayon,je ne vois pas comment travailler. il faut calculer le module de z', mais on a pas de valeurs... Voilà, je suis un peu perdue...

Si vous pouviez me donner quelques pistes ou invalider mes raisonnements, ce serait super ! Je ne vois plus comment avancer...

Merci beaucoup
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[jamo]

Bonjour
Si lz'l=1
pose z'=x+iy calcule le module et tu écris que c'est = 1 ( pas besoin de valeur pour x et y pour calculer le module )

[invitef4a649c1]

Merci de ta réponse !

Oui, j'avais posé z'=a'+ib', donc lz'l=1 reviens à poser √(a'²+b'²)=1

Mais je n'arrive plus à relier tout ça à la question... On cherche à savoir si M est un point appartenant au cercle de centre A d'affixe -2 et centre du cercle de rayon 1. Je ne comprend pas comment conclure.

[jamo]

√(a'²+b'²)=1 , en élevant au carré a'²+b'²=1 , c'est l’équation de quoi à ton avis ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4a649c1]

Eh bien, on a dit que l'équation du cercle était égale à lz'l=1, donc a'²+b'²=1 est aussi l'équation du cercle de centre A et de rayon 1. Non ?

[jamo]

centre A du cercle (0,0) et de rayon 1

[jamo]

si M est un point du cercle de centre A d'affixe -2 et de rayon 1 , donc il vérifie :
(x+2)²+y²= 1
Ps : je cherche le lien entre |z'|=1 et le point M

[invitef4a649c1]

M a pour affixe z et lz'l=1 est égal à l-iz-2il=1
Il faut poser (x+2)²+y²=l-iz-2il ?
Si oui, je ne vois pas comment simplifier, à moins de repartir sur lz'l et sur sa simplification...

[PlaneteF]

Bonjour,

Pas besoin ici de poser ou ou égal à quoi que ce soit, c'est beaucoup plus simple que çà :



donc

... avec réponse immédiate !

[jamo]

Merci , j'avais pas vu

[invitef4a649c1]

Effectivement, ton raisonnement parait biiiiiien moins compliqué !

Je suis désolée, mon cerveau doit être un peu lent aujourd'hui mais... Pourquoi écrire lz'l=lz+2l=1 et non lz'l=l-i(z+2)l ?

[PlaneteF]

Pourquoi écrire lz'l=lz+2l=1 et non lz'l=l-i(z+2)l ?

On démarre effectivement avec

... puis on utilise la formule générale , ... et aussi le fait que

[invitef4a649c1]

Ah, mais oui !
Je n'aurais pas pensé à séparer le module !
Merci beaucoup de votre aide en tout cas !